Модуль над кільцем

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Модуль над кільцемалгебраїчна структура в абстрактній алгебрі, що є узагальненням понять:

Модуль є адитивною абелевою групою де визначене множення між елементами кільця скалярів та елементами модуля і воно є асоціативним (між елементами кільця) та дистрибутивним.

Визначення[ред.ред. код]

Коли задано\ R-кільце, то \ R-модулем називається абелева группа \ (M, +) з додатковою операцією множення на елементи кільця \ R\times M \to M,

що задовільняє наступні умови  \forall \; m_1,m_2 \in M, \;\; r_1, r_2 \in R:

  1. \ r \, (m_1 + m_2) = r \, m_1 + r \, m_2,
  2. \ (r_1 + r_2) \, m = r_1 \, m + r_2 \, m,
  3. \ (r_1 \, r_2)\, m = r_1 \, (r_2 \, m),
  4. \ 1_R \cdot m = m.

Якщо кільце є некомутативним, то такий модуль називається лівим. Для визначення правого модуля замінюють умову (3) на:

\ (r_1 \, r_2) \, m = r_2 \, (r_1 \, m), що зручніше записувати як \ m \, (r_1 \, r_2) = (m \, r_1) \, r_2, звідки походить назва.

Підмодуль, ідеал та гомоморфізм[ред.ред. код]

  • Підмодулем модуля  M_R\ називається підгрупа групи \ M, замкнута відносно множення на елементи з \ R.
  • Якщо кільце розглядати як (лівий)модуль над собою (R=M), тоді його підмодулі є лівими ідеалами; якщо кільце розглядати як правий модуль — правими ідеалами. В комутативному кільці ліві і праві ідеали збігаються.
  • Гомоморфізмом  R-модулів A та B називається гомоморфізм груп \ f: A \to B, для якого виконується умова \ f(ra) = rf(a) \;\; \forall a \in A, r \in R. Множину всіх таких гомоморфізмів позначають Hom_R (A,\ B).

Приклади[ред.ред. код]

  • Абелева група — модуль над кільцем цілих чисел (\Z-модуль).
  • Лінійний простір над полем F є модулем над полем F.
  • Лінійний простір V — модуль над кільцем всіх своїх лінійних перетворень L(V).

Історія[ред.ред. код]

Найпростіші \Z-модулі зустрічаються вже в роботах Гауса. Поняття модуля зустрічається вперше в 60-80-х роках 19 ст. в роботах Дедекінда та Кронекера. В той же час проводилось дослідження скінченномірних асоціативних алгебр (Пірс, Фробеніус), що призвело до вивчення ідеалів деяких некомутативних кілець. Спочатку теорія модулів розвивалась як теорія ідеалів деякого кільця, лише в роботах Нетер було замічено, що багато результатів можна зформулювати для довільних модулів, а не тільки ідеалів.

Джерела[ред.ред. код]

  • Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
  • Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967