Модуль над кільцем

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Модуль над кільцемалгебраїчна структура в абстрактній алгебрі, що є узагальненням понять:

Модуль є адитивною абелевою групою де визначене множення між елементами кільця скалярів та елементами модуля і воно є асоціативним (між елементами кільця) та дистрибутивним.

Визначення[ред.ред. код]

Коли задано-кільце, то -модулем називається абелева группа з додатковою операцією множення на елементи кільця

що задовільняє наступні умови

Якщо кільце є некомутативним, то такий модуль називається лівим. Для визначення правого модуля замінюють умову (3) на:

що зручніше записувати як звідки походить назва.

Підмодуль, ідеал та гомоморфізм[ред.ред. код]

  • Підмодулем модуля називається підгрупа групи , замкнута відносно множення на елементи з .
  • Якщо кільце розглядати як (лівий)модуль над собою (R=M), тоді його підмодулі є лівими ідеалами; якщо кільце розглядати як правий модуль — правими ідеалами. В комутативному кільці ліві і праві ідеали збігаються.
  • Гомоморфізмом -модулів та називається гомоморфізм груп , для якого виконується умова . Множину всіх таких гомоморфізмів позначають .

Приклади[ред.ред. код]

  • Абелева група — модуль над кільцем цілих чисел (-модуль).
  • Лінійний простір над полем F є модулем над полем F.
  • Лінійний простір V — модуль над кільцем всіх своїх лінійних перетворень L(V).

Історія[ред.ред. код]

Найпростіші -модулі зустрічаються вже в роботах Гауса. Поняття модуля зустрічається вперше в 60-80-х роках 19 ст. в роботах Дедекінда та Кронекера. В той же час проводилось дослідження скінченномірних асоціативних алгебр (Пірс, Фробеніус), що призвело до вивчення ідеалів деяких некомутативних кілець. Спочатку теорія модулів розвивалась як теорія ідеалів деякого кільця, лише в роботах Нетер було замічено, що багато результатів можна зформулювати для довільних модулів, а не тільки ідеалів.

Джерела[ред.ред. код]

  • Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
  • Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.