Модуль над кільцем

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Модуль над кільцемалгебраїчна структура в абстрактній алгебрі, що є узагальненням понять:

Модуль є адитивною абелевою групою де визначене множення між елементами кільця скалярів та елементами модуля і воно є асоціативним (між елементами кільця) та дистрибутивним.

Визначення[ред. | ред. код]

Коли задано-кільце, то-модулем називається абелева группа з додатковою операцією множення на елементи кільця ,

що задовільняє наступні умови

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .

Якщо кільце є некомутативним, то такий модуль називається лівим. Для визначення правого модуля замінюють умову (3) на:

, що зручніше записувати як , звідки походить назва.

Підмодуль, ідеал та гомоморфізм[ред. | ред. код]

  • Підмодулем модуля називається підгрупа групи , замкнута відносно множення на елементи з .
  • Якщо кільце розглядати як (лівий) модуль над собою (), тоді його підмодулі є лівими ідеалами; якщо кільце розглядати як правий модуль — правими ідеалами. В комутативному кільці ліві і праві ідеали збігаються.
  • Гомоморфізмом -модулів та називається гомоморфізм груп , для якого виконується умова . Множину всіх таких гомоморфізмів позначають .

Приклади[ред. | ред. код]

  • Абелева група — модуль над кільцем цілих чисел (-модуль).
  • Лінійний простір над полем є модулем над полем .
  • Лінійний простір — модуль над кільцем всіх своїх лінійних перетворень .

Історія[ред. | ред. код]

Найпростіші -модулі зустрічаються вже в роботах Гауса. Поняття модуля зустрічається вперше в 60-80-х роках 19 ст. в роботах Дедекінда та Кронекера. У той же час проводилось дослідження скінченномірних асоціативних алгебр (Пірс, Фробеніус), що призвело до вивчення ідеалів деяких некомутативних кілець. Спочатку теорія модулів розвивалась як теорія ідеалів деякого кільця, лише в роботах Еммі Нетер було замічено, що багато результатів можна зформулювати для довільних модулів, а не тільки ідеалів.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  • Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
  • Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967