Модулярна група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
ModularGroup-FundamentalDomain-01.png

Модулярна групагрупа всіх дробово-лінійних перетворень виду

де цілі числа, причому .

Модулярна група ототожнюється з факторгрупою . Тут спеціальна лінійна група.

де — цілі числа .

Властивості[ред.ред. код]

Модулярна група є дискретною групою перетворень верхньої комплексної півплощини і допускає подання твірними:

і співвідношеннями , тобто є вільним добутком циклічної групи порядку 2, породженої , і циклічної групи порядку 3, породженої .

Для довільного перетворення з модулярної групи справедлива рівність:

Оскільки уявна частина ненульова, а числа і цілі, не рівні нулю одночасно, то величина відокремлена від нуля (не може бути як завгодно малою). Це означає, що в орбіті будь-якої точки є така, на якій уявна частина досягає свого максимуму.

Фундаментальна область[ред.ред. код]

Фундаментальна область (канонічна) модулярної групи — це замкнута область

Легко перевірити, використовуючи (1), що перетворення модулярної групи не збільшують уявну частину точок з . З цього виходить, що для того, щоб дві точки належали , їх уявна частина повинна бути однакова: . Таким умовам відповідають наступні перетворення і точки:

  1. — будь-яка точка;

Зокрема, всі точки області мають тривіальний стабілізатор, окрім трьох:

Крім того, з цього випливає що при факторизації верхньої півплощини по дії модулярної групи внутрішні точки відображаються ін'єктивно, тоді як граничні — склеюються з точками, «дзеркальними» до них відносно прямої .

Література[ред.ред. код]