Модулярна форма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Модулярна формаголоморфна функція визначена на верхній комплексній півплощині (тобто множині \mathbb{H} = \{x + iy \;| y > 0; x, y \in \mathbb{R} \}), що є інваріантною щодо перетворень модулярної групи чи деякої її підгрупи і задовольняє умові голоморфності в параболічних точках. Модулярні форми і модулярні функції широко використовуються в теорії чисел, а також в алгебраїчній топології і теорії струн.

Визначення[ред.ред. код]

Допоміжні визначення[ред.ред. код]

Нехай \gamma =  
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z})квадратна матриця порядку 2 з цілочисельними елементами і визначником рівним одиниці. Для деякого z \in \mathbb{H} визначимо функцію \gamma z = \left(\frac{az+b}{cz+d}\right). Також позначимо:

\Gamma(N) = \left\{ 
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) :
a \equiv 1, b \equiv 0, c \equiv 0, d \equiv 1,\pmod{N} \right\}.

Дані групи називаються головними конгруентними підгрупами рівня N. Також використовується позначення \Gamma(1) = SL_2(\mathbf{Z}). Довільна група \Gamma: \Gamma(N) \subseteq \Gamma\subseteq \Gamma(1) називається конгруентною. Нехай \gamma \in \Gamma — деякий елемент конгруентної групи. Якщо \operatorname{Tr}(\gamma)= \pm 2 (де \operatorname{Tr}(\cdot)слід матриці) то цей елемент називається параболічним, а відповідне перетворення параболічним. Точка s \in \R \cup {\infty} називається параболічною, якщо існує параболічний елемент \gamma \in \Gamma, \, \gamma \neq {I,-I}, такий що \gamma s = s\,.

Модулярна форма[ред.ред. код]

Нехай \Gamma — деяка конгруентна група. Функція f визначена на \mathbb{H} називається модулярною формою степеня (ваги) k для групи \Gamma, якщо виконуються умови:

  1. f(\gamma z) =(cz+d)^kf(z),\,\forall \gamma =  
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma;
  2. f(z)голоморфна в \mathbb{H};
  3. f(z) голоморфна в параболічних точках групи \Gamma.

Модулярна функція[ред.ред. код]

Нехай \Gamma — деяка конгруентна група. Функція f визначена на \mathbb{H} називається модулярною функцією для групи \Gamma, якщо виконуються умови:

  1. f(z) є інваріантною щодо дії групи \Gamma, тобто f(\gamma z) =f(z),\,\forall \gamma =  
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma;
  2. f(z)мероморфна в \mathbb{H};
  3. f(z) — мероморфна в параболічних точках групи \Gamma.

Випадок групи \Gamma(1)[ред.ред. код]

Модулярна група \Gamma(1)/\{I,-I\}\, породжується двома матрицями T=\ \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\, і S=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right). Тож для перевірки виконання перших умов визначень модулярних функцій і форм достатньо перевірити виконання умов \ f(z)=f(z+1) і \ f(-1/z)=z^k f(z). Параболічними точками даної групи є точки \Q \cup \{\infty\} і всі вони є еквівалентними, тобто \forall a,b \in \Q \cup {\infty} існує такий \gamma \in \Gamma(1), що \gamma a=b. Тож достатньо перевірити голоморфність чи мероморфність лише в одній з цих точок. Найзручніше для цього взяти \{\infty\}. Завдяки властивості \ f(z)=f(z+1) функція f(z) може бути записана через ряд Фур'є через q=\exp(2\pi iz).

Оскільки \exp на всій комплексній площині не рівний нулю то також q \neq 0 але, \exp(w) \to 0 коли w \to -\infty (по від'ємній дійсній осі), отже q \to 0 коли 2\pi iz \to -\infty, тобто коли z \to i\infty (по додатній уявній осі).

Функція є мероморфною в безмежності якщо:

f(z)=\sum_{n=-m}^\infty c_n \exp(2\pi inz) = \sum_{n=-m}^\infty c_n q^n.

на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти c_n — коефіцієнти Фур'є функції f, Якщо c_n = 0 при n < 0 на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.

Пояснення[ред.ред. код]

Для \Gamma=\Gamma(1) модулярну форму можна також означити, як однорідну голоморфну функцію F на множині ґраток в \mathbb C. Тут ґратка - це підгрупа \Lambda\cong\mathbb Z^2 в (\mathbb C,+), породжена двома числами \omega_1, \omega_2, які утворюють базу \mathbb C над \mathbb R. Однорідність F означає, що існує ціле k\ge0, таке, що F(\lambda\Lambda)=\lambda^{-k}F(\Lambda) для всіх \lambda\in\mathbb C^\times і всіх ґраток \Lambda. Досить обмежитись парною вагою k, інакше F\equiv0. За допомогою гомотетії \lambda\cdot- можна зробити, щоб \omega_2=1, а \omega_1\in\mathbb H=\{\tau\in\mathbb C\mid\mathrm{Im}\tau>0\} було параметром ґратки. Функція f:\mathbb H\to\mathbb C, f(\tau)=F(\mathbb Z.\tau+\mathbb Z.1) має автоморфну властивість, еквівалентну однорідності F. Голоморфність F означає голоморфність f і поліноміальну обмеженість росту f поблизу межі \mathbb H. З обмеженості випливає, що f(x+iy)=O(1) при y\to\infty і f(x+iy)=O(y^{-k}) при y\to0.

Загальний випадок[ред.ред. код]

Якщо \Gamma — деяка підгрупа зі скінченним індексом групи \Gamma(1), то множина параболічних точок теж рівна \Q \cup \{\infty\}, але в цьому випадку вони можуть не бути еквівалентними, тож умови голоморфності і мероморфності слід перевіряти окремо для кожного класу еквівалентності. Для точки \{\infty\} стабілізатор породжується деякою матрицею T^M=\left(\begin{array}{cc} 1 & M \\ 0 & 1 \end{array}\right)\,. Оскільки f(z) інваріантна відносно T^M, то \ f(z)=f(z+M). Тому якщо визначити q=\exp \left(\frac{2\pi iz}{M}\right) то можна дати ознаки мероморфності і голоморфності подібні до попередніх.

функція є мероморфною в безмежності якщо:

f(z)= \sum_{n=-m}^\infty c_n q^n.

на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти c_n — коефіцієнти Фур'є функції f, Якщо c_n = 0 при n < 0 на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.

Якщо точка \tau \in \Q не є еквівалентна безмежності в групі \Gamma, тоді можна знайти такий \gamma \in \Gamma(1), що \tau = \gamma (\infty ). Тоді функція F(z) = f (\gamma z) є інваріантною щодо групи  \gamma \Gamma \gamma^{-1} \subset \Gamma(1). Тоді f(z) буде голоморфною (мероморфною) в точці \tau \in \Q, якщо F(z) буде голоморфною (мероморфною) в безмежності.

Для \Gamma=\Gamma(N) говоримо про модулярні форми рівня N. Модулярні форми ваги k і рівня \Gamma утворюють скінченновимірний простір M_k(\Gamma) (нульовий при k<0) і градуйована алгебра M_*(\Gamma)=\oplus_{k\ge0}M_k(\Gamma) скінченнопороджена над \mathbb C. Наприклад, M_k(\Gamma(1))=0 для непарних k, а для парних k \dim\,M_k(\Gamma(1))=[k/12] при k\equiv2\pmod{12} і \dim\,M_k(\Gamma(1))=[k/12]+1 інакше. Більш загально, якщо \Gamma - дискретна підгрупа \mathrm{SL}(2,\mathbb R), і \Gamma\backslash\mathbb H має скінченний гіперболічний об'єм V (стосовно 2-форми y^{-2}dx\,dy), то \dim\,M_k(\Gamma)\le kV/(4\pi)+1 для всіх k\ge0. Зокрема, для підгрупи, що містить -1, \Gamma\subset\Gamma(1), скінченного індексу r, \dim\,M_k(\Gamma)\le[kr/12]+1.

Приклади[ред.ред. код]

  • Одними з найпростіших прикладів модулярних форм є ряди Ейзенштейна ваги k, що визначаються для парного k>2:

G_k(\tau) = \frac12 \sum_{ (m,n)\in\mathbb{Z}^2\backslash(0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^k}.

де  \tau \in \mathbb{H}.

  • Нехай
g_2= 60\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-4},\qquad
g_3=140\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-6} — модулярні інваріанти, \Delta=g_2^3-27g_3^2 — модулярний дискримінант.

Визначимо також:

j(\tau)=1728{g_2^3 \over \Delta} — основний модулярний інваріант (j - інваріант).

Виконуються рівності:

g_2(\tau+1)=g_2(\tau),\; g_2(-\tau^{-1})=\tau^4g_2(\tau)
\Delta(\tau+1) = \Delta(\tau),\; \Delta(-\tau^{-1}) = \tau^{12} \Delta(\tau)

Також дані функції задовольняють відповідні властивості голоморфності. Тобто g_2 — модулярна форма ваги 4, \Delta — модулярна форма ваги 12. Відповідно g_2^3 — модулярна форма ваги 12, а j(z) — модулярна функція. Дані функції мають важливе застосування в теорії еліптичних функцій і еліптичних кривих.

Пояснення[ред.ред. код]

При дії групи \mathrm{SL}(2,\mathbb R) з вагою k>0 на голоморфних функціях \mathbb H\to\mathbb C, f\mapsto f|_k\gamma, \gamma=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in\mathrm{SL}(2,\mathbb R),

 (f|_k\gamma)(\tau) =(c\tau+d)^{-k}f\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right),

стабілізатор точки 1 (постійної функції) при парному k - це матриці з c=0, a=d=\pm1. При дії \Gamma(1)=\mathrm{SL}(2,\mathbb Z) цей стабілізатор є \Gamma_\infty=\{\pm\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\mid n\in\mathbb Z\}. Множина класів суміжності \Gamma_\infty\backslash\Gamma(1) перебуває в бієкції з \{(c,d)\in\mathbb Z^2\midнсд(c,d)=1\}/(\pm1). Ряд Айзенштайна

 E_k(\tau) =\sum_{\gamma\in\Gamma_\infty\backslash\Gamma(1)}1|_k\gamma =\frac12 \sum_{c,d\in\mathbb Z}^{(c,d)=1}\frac1{(c\tau+d)^k}

абсолютно збігається при k>2 і є нерухомою точкою дії \mathrm{SL}(2,\mathbb Z), тобто модулярною формою ваги k рівня 1. Комутативне кільце M_*(\Gamma(1))=\mathbb C[E_4,E_6].

Безпосередньо однорідну функцію від ґратки можна написати як G_k(\Lambda)=(1/2)\sum_{\lambda\in\Lambda\backslash0}\lambda^{-k}, k>2. Звуження її на ґратки \Lambda=\mathbb Z.\tau+\mathbb Z.1, \tau\in\mathbb H, дає модулярну форму ваги k рівня 1

 G_k(\tau) =\frac12 \sum_{m,n\in\mathbb Z}^{(m,n)\neq(0,0)}\frac1{(m\tau+n)^k},

втім, G_k(\tau)=\zeta(k)E_k(\tau). Використовуючи ще одну нормалізацію \mathbb G_k(\tau)=(k-1)!(2\pi i)^{-k}G_k(\tau), знаходимо розвинення її в ряд Фур'є від q=e^{2\pi i\tau}: \mathbb G_k(\tau)=-B_k/(2k)+\sum_{n=1}^\infty\sigma_{k-1}(n)q^n, де B_k - число Бернуллі і \sigma_{k-1}(n)=\sum_{d|n}d^{k-1}.

Квадратичні форми[ред.ред. код]

Нехай \theta(\tau)=\sum_{n\in\mathbb Z}\exp(\pi in^2\tau) - тета-функція Якобі, \tau\in\mathbb H. Тоді \theta^2 - модулярна форма ваги 1 рівня 4. З одновимірності певного простору модулярних форм випливає, що число представлень цілого n>0 як суми квадратів двох цілих чисел є 4\sum_{d|n,\,d>0}^{(d,2)=1}(-1)^{(d-1)/2}. З того, що \theta^4 - модулярна форма ваги 2 рівня 4 виводиться: число представлень цілого n>0 як суми квадратів чотирьох цілих чисел є 8\sum_{d|n,\,d>0}^{d\not\equiv0\pmod4}d. Узагальнюючи, розглянемо додатно визначену квадратичну форму Q:\mathbb Z^m\to\mathbb Z, Q(x)=x^tAx/2, де A\in\mathrm{Mat}(m,\mathbb Z) - симетрична додатно визначена матриця з парними діагональними елементами. З нею асоціюється тета-ряд

 \Theta_Q(\tau) =\sum_{x_1,\dots,x_m\in\mathbb Z}q^{Q(x_1,\dots,x_m)} =\sum_{n=0}^\infty R_Q(n)q^n,

де q=e^{2\pi i\tau} і R_Q(n)=\#\{x\in\mathbb Z^m\mid Q(x)=n\}. Нехай N - найменше додатне ціле, таке, що NA^{-1}\in\mathrm{Mat}(m,\mathbb Z) має парні діагональні елементи. Тоді для m=2k, k\in\mathbb Z_{>0}, функція \Theta_Q є модулярною формою ваги k рівня N. Зокрема, для \det A=1, \Theta_Q є модулярною формою ваги k рівня 1. Наприклад, це вірно для ґратки E_8 (m=8) або ґратки Лича (m=24).

Оператори Геке[ред.ред. код]

На просторі модулярних форм ваги k рівня 1 діє оператор Геке T_m, m\ge1. Він переводить однорідну функцію F степеня -k від ґратки \Lambda\subset\mathbb C в суму T_mF(\Lambda)=m^{k-1}\sum F(\Lambda'), де \Lambda'\subset\Lambda пробігає підґратки індексу m. Константа нормалізації вибрана так, щоби ряди з цілими коефіцієнтами Фур'є переходили в такі ж. Скінченна множина ґраток \Lambda'\subset\Lambda індексу m ототожнюється з множиною \Gamma(1)\backslash\mathcal M_m, де \mathcal M_m\subset\mathrm{Mat}(2,\mathbb Z) - множина матриць \gamma=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} з визначником m. Тому

 T_mf(\tau) =m^{k-1}\sum_{\gamma\in\Gamma(1)\backslash\mathcal M_m} (c\tau+d)^{-k}f\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right).

За представників класів суміжності можна обрати цілочисельні матриці \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} з ad=m, 0\le b<d. Тому

 T_mf(\tau) =m^{k-1}\sum_{ad=m}^{d>0} d^{-k}\sum_{b\pmod d}f((a\tau+b)/d).

Всі оператори T_m комутують і є нормальними відносно скалярного добутку Петерсона, тож M_k(\Gamma(1)) має базу спільних власних векторів (Геке). Ці вектори f можна нормалізувати умовою a_1=1 для f=\sum_{n\ge0}a_nq^n і нормалізований власний базис є єдиним. Прикладами нормалізованих власних функцій слугують \Delta і \mathbb G_k, k\ge4. З кожною модулярною формою f=\sum_{n\ge0}a_nq^n ваги k пов'язується ряд Діріхле L(f,s)=\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}. Якщо f - нормалізована власна функція Геке, то

 L(f,s)=\prod 1/(1-a_pp^{-s}+p^{k-1-2s}),

де p пробігає прості числа. Для довільної модулярної форми f з a_0=0 ряд Діріхле продовжується до цілої функції від s і задовольняє функціональному рівнянню L^*(f,k-s)=(-1)^{k/2}L^*(f,s), де L^*(f,s)=(2\pi)^{-s}\Gamma(s)L(f,s) - теж ціла функція.

Застосування[ред.ред. код]

З гіпотези Шимура-Таніяма-Вейля, доведеної Вайлсом, Тейлором, Брейлем, Конрадом, Даймондом наприкінці двадцятого століття (кожна еліптична крива над \mathbb Q може бути параметризована модулярними функціями) випливає (Рібет) велика теорема Ферма: для n>2 не існує додатних цілих a, b, c з a^n+b^n=c^n.

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Сарнак П. Модулярные формы и их приложения, М: ФАЗИС, 1998. ISBN 5-70364029-4
  • Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
  • Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
  • D. Mumford, Tata lectures on theta. I, Progress in Mathematics, vol. 28, Birkhäuser Boston, MA, 1983.
  • Ю.И. Манин, А.А. Панчишкин, Введение в современную теорию чисел, Москва, МЦНМО, 2009.
  • Енциклопедія Сучасної України