Модулярна форма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Модулярна формаголоморфна функція визначена на верхній комплексній півплощині (тобто множині ), що є інваріантною щодо перетворень модулярної групи чи деякої її підгрупи і задовольняє умові голоморфності в параболічних точках. Модулярні форми і модулярні функції широко використовуються в теорії чисел, а також в алгебраїчній топології і теорії струн.

Визначення[ред.ред. код]

Допоміжні визначення[ред.ред. код]

Нехай квадратна матриця порядку 2 з цілочисельними елементами і визначником рівним одиниці. Для деякого визначимо функцію . Також позначимо:

Дані групи називаються головними конгруентними підгрупами рівня N. Також використовується позначення . Довільна група називається конгруентною. Нехай — деякий елемент конгруентної групи. Якщо (де слід матриці) то цей елемент називається параболічним, а відповідне перетворення параболічним. Точка називається параболічною, якщо існує параболічний елемент , такий що .

Модулярна форма[ред.ред. код]

Нехай — деяка конгруентна група. Функція f визначена на називається модулярною формою степеня (ваги) k для групи , якщо виконуються умови:

  1. ;
  2. голоморфна в ;
  3. голоморфна в параболічних точках групи .

Модулярна функція[ред.ред. код]

Нехай — деяка конгруентна група. Функція f визначена на називається модулярною функцією для групи , якщо виконуються умови:

  1. є інваріантною щодо дії групи , тобто ;
  2. мероморфна в ;
  3. — мероморфна в параболічних точках групи .

Випадок групи [ред.ред. код]

Модулярна група породжується двома матрицями і . Тож для перевірки виконання перших умов визначень модулярних функцій і форм достатньо перевірити виконання умов і . Параболічними точками даної групи є точки і всі вони є еквівалентними, тобто існує такий , що . Тож достатньо перевірити голоморфність чи мероморфність лише в одній з цих точок. Найзручніше для цього взяти . Завдяки властивості функція f(z) може бути записана через ряд Фур'є через .

Оскільки на всій комплексній площині не рівний нулю то також але, коли (по від'ємній дійсній осі), отже коли , тобто коли (по додатній уявній осі).

Функція є мероморфною в безмежності якщо:

на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти — коефіцієнти Фур'є функції , Якщо при на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.

Пояснення[ред.ред. код]

Для модулярну форму можна також означити, як однорідну голоморфну функцію F на множині ґраток в . Тут ґратка - це підгрупа в , породжена двома числами , , які утворюють базу над . Однорідність F означає, що існує ціле , таке, що для всіх і всіх ґраток . Досить обмежитись парною вагою k, інакше . За допомогою гомотетії можна зробити, щоб , а було параметром ґратки. Функція , має автоморфну властивість, еквівалентну однорідності F. Голоморфність F означає голоморфність f і поліноміальну обмеженість росту f поблизу межі . З обмеженості випливає, що при і при .

Загальний випадок[ред.ред. код]

Якщо — деяка підгрупа зі скінченним індексом групи , то множина параболічних точок теж рівна , але в цьому випадку вони можуть не бути еквівалентними, тож умови голоморфності і мероморфності слід перевіряти окремо для кожного класу еквівалентності. Для точки стабілізатор породжується деякою матрицею . Оскільки f(z) інваріантна відносно , то . Тому якщо визначити то можна дати ознаки мероморфності і голоморфності подібні до попередніх.

функція є мероморфною в безмежності якщо:

на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти — коефіцієнти Фур'є функції , Якщо при на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.

Якщо точка не є еквівалентна безмежності в групі , тоді можна знайти такий , що . Тоді функція є інваріантною щодо групи . Тоді буде голоморфною (мероморфною) в точці , якщо буде голоморфною (мероморфною) в безмежності.

Для говоримо про модулярні форми рівня N. Модулярні форми ваги k і рівня утворюють скінченновимірний простір (нульовий при ) і градуйована алгебра скінченнопороджена над . Наприклад, для непарних k, а для парних k при і інакше. Більш загально, якщо - дискретна підгрупа , і має скінченний гіперболічний об'єм V (стосовно 2-форми ), то для всіх . Зокрема, для підгрупи, що містить -1, , скінченного індексу r, .

Приклади[ред.ред. код]

  • Одними з найпростіших прикладів модулярних форм є ряди Ейзенштейна ваги , що визначаються для парного :

де .

  • Нехай
— модулярні інваріанти, — модулярний дискримінант.

Визначимо також:

— основний модулярний інваріант (j - інваріант).

Виконуються рівності:

Також дані функції задовольняють відповідні властивості голоморфності. Тобто — модулярна форма ваги 4, — модулярна форма ваги 12. Відповідно — модулярна форма ваги 12, а — модулярна функція. Дані функції мають важливе застосування в теорії еліптичних функцій і еліптичних кривих.

Пояснення[ред.ред. код]

При дії групи з вагою на голоморфних функціях , , ,

стабілізатор точки 1 (постійної функції) при парному k - це матриці з , . При дії цей стабілізатор є . Множина класів суміжності перебуває в бієкції з нсд. Ряд Айзенштайна

абсолютно збігається при і є нерухомою точкою дії , тобто модулярною формою ваги k рівня 1. Комутативне кільце .

Безпосередньо однорідну функцію від ґратки можна написати як , . Звуження її на ґратки , , дає модулярну форму ваги k рівня 1

втім, . Використовуючи ще одну нормалізацію , знаходимо розвинення її в ряд Фур'є від : , де - число Бернуллі і .

Квадратичні форми[ред.ред. код]

Нехай - тета-функція Якобі, . Тоді - модулярна форма ваги 1 рівня 4. З одновимірності певного простору модулярних форм випливає, що число представлень цілого як суми квадратів двох цілих чисел є . З того, що - модулярна форма ваги 2 рівня 4 виводиться: число представлень цілого як суми квадратів чотирьох цілих чисел є . Узагальнюючи, розглянемо додатно визначену квадратичну форму , , де - симетрична додатно визначена матриця з парними діагональними елементами. З нею асоціюється тета-ряд

де і . Нехай N - найменше додатне ціле, таке, що має парні діагональні елементи. Тоді для , , функція є модулярною формою ваги k рівня N. Зокрема, для , є модулярною формою ваги k рівня 1. Наприклад, це вірно для ґратки () або ґратки Лича ().

Оператори Геке[ред.ред. код]

На просторі модулярних форм ваги k рівня 1 діє оператор Геке , . Він переводить однорідну функцію F степеня -k від ґратки в суму , де пробігає підґратки індексу m. Константа нормалізації вибрана так, щоби ряди з цілими коефіцієнтами Фур'є переходили в такі ж. Скінченна множина ґраток індексу m ототожнюється з множиною , де - множина матриць з визначником m. Тому

За представників класів суміжності можна обрати цілочисельні матриці з , . Тому

Всі оператори комутують і є нормальними відносно скалярного добутку Петерсона, тож має базу спільних власних векторів (Геке). Ці вектори f можна нормалізувати умовою для і нормалізований власний базис є єдиним. Прикладами нормалізованих власних функцій слугують і , . З кожною модулярною формою ваги k пов'язується ряд Діріхле . Якщо f - нормалізована власна функція Геке, то

де p пробігає прості числа. Для довільної модулярної форми f з ряд Діріхле продовжується до цілої функції від s і задовольняє функціональному рівнянню , де - теж ціла функція.

Застосування[ред.ред. код]

З гіпотези Шимура-Таніяма-Вейля, доведеної Вайлсом, Тейлором, Брейлем, Конрадом, Даймондом наприкінці двадцятого століття (кожна еліптична крива над може бути параметризована модулярними функціями) випливає (Рібет) велика теорема Ферма: для не існує додатних цілих a, b, c з .

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Сарнак П. Модулярные формы и их приложения, М: ФАЗИС, 1998. ISBN 5-70364029-4
  • Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
  • Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
  • D. Mumford, Tata lectures on theta. I, Progress in Mathematics, vol. 28, Birkhäuser Boston, MA, 1983.
  • Ю.И. Манин, А.А. Панчишкин, Введение в современную теорию чисел, Москва, МЦНМО, 2009.
  • Енциклопедія Сучасної України