Монотонна послідовність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Монотонно спадною (зростаючою, неспадною, незростаючою) називають послідовність в якій кожен член є меншим (більшим, не меншим, не більшим) за член послідовності .

Визначення[ред. | ред. код]

Нехай є безліч ,на якому введено відношення порядку. Послідовність елементів послідовності  називається неспадною, якщо кожен елемент цієї послідовності не перевищує наступного за ним.

— неспадна

Послідовність елементів множини називається незростаючою, якщо кожен наступний елемент цієї послідовності не перевищує попереднього.

— незростаюча

Послідовність елементів множини називається зростаючою , якщо кожен наступний елемент цієї послідовності перевищує попередній.

— зростаюча

Послідовність елементів множини називається спадною, якщо кожен елемент цієї послідовності перевищує наступний за ним.

— спадною

Послідовність називається монотонною, якщо вона є неспадною, або незростаючою.

Послідовність називається строго монотонною, якщо вона є зростаючою, або спадною.

Очевидно, що строго монотонна послідовність є монотонною.

Іноді використовується варіант термінології, в якому термін «зростаюча послідовність» розглядається як синонім терміну «неспадна послідовність», а термін «спадна послідовність» - як синонім терміну «незростаюча послідовність». У такому випадку зростаючі і спадні послідовності з вищенаведеного визначення називаються «строго зростаючими» і «строго спадними», відповідно.

Проміжки монотонності[ред. | ред. код]

Може виявитися, що вищевказані умови виконуються не для всіх номерів , а лише для номерів із деякого діапазону.

Тут допускається звернення правої межі у нескінченність. У цьому випадку послідовність називається монотонною на проміжку I, а сам діапазон I є проміжком монотонності послідовності.

Приклади[ред. | ред. код]

  • Послідовність натуральних чисел.
    • .
    • Початкові відрізки:.
    • Зростаюча послідовність.
    • Складається з натуральних чисел.
    • Обмежена знизу, зверху не обмежена.
  • Послідовність Фібоначчі
    • Початкові відрізки: .
    • Не спадна послідовність.
    • Складається з натуральних чисел.
    • Обмежена знизу, зверху не обмежена.
  • Геометрична прогресія з основою .
    • .
    • Початкові відрізки: .
    • Зростаюча послідовність.
    • Складається з раціональних чисел.
    • Обмежена з обох сторін.
  • Послідовність, що сходиться до числа e.
    • .
    • Початкові відрізки:.
    • Зростаюча послідовність.
    • Складається з раціональних чисел, але сходиться до трансцендентного числа.
    • Обмежена з обох сторін.
  • Послідовність раціональних чисел виду не є монотонною. Тим не менш, вона (строго) спадає на відрізку і (строго) зростає на проміжку .

Властивості[ред. | ред. код]

  • Обмеженість.
    • Будь-яка неспадна послідовність обмежена знизу.
    • Будь-яка незростаюча послідовність обмежена зверху.
    • Будь-яка монотонна послідовність обмежена принаймні з одного боку.
  • Монотонна послідовність сходиться тоді і тільки тоді, коли вона обмежена з обох сторін. (Теорема Вейєрштрасса про обмежені монотонних послідовностей)
    • Збіжна неспадна послідовність обмежена зверху своєю межею.
    • Збіжна незростаюча послідовність обмежена знизу своєю межею.

Джерела[ред. | ред. код]