Моноїд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Моноїдалгебраїчна структура з бінарною операцією, що є асоціативною та має нейтральний елемент.

Стисліше, моноїд це півгрупа з нейтральним елементом.

Якщо для елементів моноїда існує обернений елемент тоді це група.

Визначення[ред.ред. код]

Моноїд це множина, S, разом із двомістною операцією “•”, яка зодовільняє трьом наступним аксіомам:

Замкнутість
Для всіх a, b в S, результат операції ab також в S.
Асоціативність
Для всіх a, b іc в S, виконується рівність (ab) • c = a • (bc).
Нейтральний елемент
Існує елемент e в S такий, що для всіх елементів a в S, вірне рівність ea = ae = a.

І в математичному записі ми можемо записати це так

  • Замкнутість: \forall a,b \in S: \;\; a \cdot b \in S,
  • Асоціативність: \forall a,b,c \in S: \;\; (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c),
  • Нейтральний елемент: \exists e \in S такий, що \forall a \in S: \;\; e \cdot a = a \cdot e = a.

Символ двомісної операції часто опускається; наприклад аксіоми моноїда вимагають \ (ab)c = a(bc) і \ ea=ae=a. Це не обов'язково значить, що змінні або числа будуть перемножені, будь-яка операція може бути використана.