Мультиіндекс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Мультиіндекс (або мульти-індекс) — узагальнення поняття цілочислового індексу до векторного індексу, яке використовується в різних областях математики, пов'язаних з функціями багатьох змінних. Використання мультиіндексу дозволяє спростити (записати у коротшій формі) математичні формули.

Математичний запис мультиіндексу[ред.ред. код]

n-вимірний мультиіндекс — це вектор

складений з невід'ємних чисел. Для двох мультиіндексів і вектора вводяться:

  • Покомпоненне додавання і віднімання
  • Абсолютне значення як сума компонент
де

Застосування[ред.ред. код]

Використання мультиіндекса дозволяє без проблем узагальнити багато з формул класичного аналізу на випадок багатьох змінних. Ось деякі приклади:

Мультиноміальні коефіцієнти[ред.ред. код]

Узагальнення бінома Ньютона на багатовимірний випадок:

Правило Лейбніца[ред.ред. код]

Для гладких функцій f і g

Розклад в ряд Тейлора[ред.ред. код]

Для аналітичної функції f від n змінних справедливий розклад

Для достатньо гладких функцій виконується формула Тейлора

де останній член (залишок) може бути записаний в різних формах. Наприклад, в (інтегральній) формі Коші

Оператор диференціювання[ред.ред. код]

Формальний оператор взяття частинної похідної N-го порядку в n-вимірному просторі записується наступним чином:

Інтегрування частинами[ред.ред. код]

Для достатньо гладких функцій в обмеженій області справедлива формула

Ця формула використовується при означенні узагальнених функцій.


Посилання[ред.ред. код]