Мінор графа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В теорії графів неорієнтований граф Н називається мінором графа G, якщо H може бути сформований з G шляхом видалення ребер і вершин або стягуванням ребер.

Теорія мінорів графів почалася з теореми Вагнера, в якій говориться, що граф є планарним, якщо і тільки якщо його мінори не включають в себе ні повний граф K5, ні повний двочастковий граф K3,3.[1]. Теорема Робертсон-Сеймура передбачає, що аналогічна характеристика забороненого мінору існує для кожної властивості графів, що зберігається за рахунок видалення вершин і стягування ребер.[2] Для кожного фіксованого графа H можна перевірити, чи є Н мінором вхідного графа G за поліноміальний час. Разом з характеристикою забороненого мінора це означає, що кожна властивість графа, збережена при діленні та скороченнях, може бути розпізнана за поліноміальний час.[3]

Інші результати і домисли за участю мінору графа включають теорему структури графа, відповідно до якої графи, в яких немає Н як мінора, можуть бути утворені шляхом склеювання більш простих частин. А гіпотеза Хадвігера описує неможливість пофарбувати графи згідно існуючого великого повного графа, як і його мінор. Важливі варіанти мінорів графа включають топологічні мінори і занурені мінори.

Визначення[ред. | ред. код]

Операція стягування ребер видаляє ребро з графа при одночасному об'єднанні двох вершин, які воно з'єднувало. Неорієнтований граф H є мінором іншого неорієнтованого графа G, якщо граф, схожий до H може бути отриманий з G стягуванням деяких ребер, видаленням деяких ребер і видаленням деяких ізольованих вершин. Порядок, в якому послідовність таких скорочень і вилучень виконується з G, не впливає на отриманий графік H.

Мінори графів часто вивчаються в більш загальному контексті матроідних мінорів. У зв'язку з цим, прийнято вважати, що всі графи є більше мультиграфом, ніж простим графом. Ця точка зору має перевагу в тому, що крайові видалення залишають ранг графа без змін, а крайові сутички завжди зменшують ранг на одиницю.

Приклад[ред. | ред. код]

У наступному прикладі, граф Н — мінор графа G: H. Граф H

G. Граф G

Наступна діаграма ілюструє трансформацію із G в H: cпочатку побудуємо підграф G, видаливши пунктирні ребра (і ізольовану вершину), а потім позначимо сіру кромку (об'єднання двох вершин, які вона з'єднує):

Трансформація із G в H

Основні гіпотези[ред. | ред. код]

Нескладно перевірити, що відношення мінору графа утворює частковий порядок для ізоморфних класів неорієнтованих графів: відношення транзитивно (мінор мінору G є мінором самого G), а G і H можуть бути мінорами один одного тільки якщо вони ізоморфні, тому що будь-яка нетривіальна операція над мінором видаляє незначні ребра і вершини. Глибоке дослідження Ніла Робертсона і Пола Сеймура стверджує, що цей частковий порядок насправді є квазі-впорядкуванням: якщо дається нескінченний список G1, G2, … кінцевих графів, то завжди існують два індекси i < j такі, що Gi є мінором Gj. Інший еквівалентний спосіб завдання цього є те, що будь-який набір графів може мати лише кінцеве число мінімальних елементів під порядком мінорів[4]. Цей результат довів гіпотезу, раніше відому як гіпотеза Вагнера, за Клаусом Вагнером; Вагнер припускав її задовго раніше, але опублікував тільки в 1970 році.

Об'єднання мінорно-замкнутих графів[ред. | ред. код]

Багато об'єднань графів мають таку властивість, що кожен мінор графа з F також знаходиться в F; такий клас називається мінорно-замкнутим. Наприклад, в будь-якому планарному графі або будь-якому вкладеному графі на фіксованій топологічної поверхні ні видалення ребер, ні стягування ребер не можуть збільшити рід вкладеного графа; Таким чином, планарні графи і їх вкладені графи на будь-який закріпленій поверхні формують мінорно-замкнуті об'єднання.

Алгоритм[ред. | ред. код]

Якщо Н є циклічним графом з такою ж кількістю вершин, як і G, то Н — мінор G тоді і тільки тоді, коли G містить гамільтонів цикл. Проте, коли G є частиною вхідного, але Н фіксований, це може бути вирішено за поліноміальний час. Шляхом застосування алгоритму поліноміального часу для перевірки на те, чи містить даний граф будь-який з вказаних мінорів, можна розпізнати члени будь-якого мінорно-замкнутого об'єднання за поліноміальний час. Однак для того, щоб конструктивно застосувати цей результат, необхідно знати, що таке заборонені мінори об'єднання графа.[3]

Примітки[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]