Перейти до вмісту

Міра Гаусдорфа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Міра Гаусдорфа — збірна назва класу мір, визначених на борелівській -алгебрі метричного простору .

Визначення

[ред. | ред. код]

Ф. Гаусдорф розглядав [1] деякий клас відкритих множин , на якому визначив невід'ємну функцію і

де нижня межа береться по всіх скінченних або зліченних покриттях борелівської множини множинами з з діаметром, що не перевищує , тобто

і

Мірою Гаусдорфа , що визначається класом і функцією , називається межа

Приклади

[ред. | ред. код]
  1. Нехай — сукупність всіх куль на , a , де . Тоді відповідна міра буде називатися -мірою Гаусдорфа. При така міра буде називатися лінійною мірою Гаусдорфа, а при пласкою мірою Гаусдорфа.
  2. Якщо , — сукупність циліндрів з кульовими основами і осями, паралельними до напрямку осі и рівна -мірному об'єму осьового перерізу циліндра , то відповідна міра Гаусдорфа називається циліндричною мірою.

Література

[ред. | ред. код]
  • Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы. Общая теория. — пер. с англ. — М. : Едиториал УРСС, 2004. — Т. 1. — 896 с. — ISBN 5-354-00601-5..

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Hausdorff, F. Mathematische Annalen. — 1918. — Bd 79. — S. 157—179.