Міра Жордана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Міра Жордана — один із способів формалізації поняття довжини, площі і -вимірного об'єму в -вимірному евклідовому просторі.

Побудова[ред.ред. код]

Множина вимірна за Жорданом, якщо внутрішня міра Жордана дорівнює зовнішній мірі Жордана.

Міра Жордана паралелепіпеда в визначається як добуток

Для обмеженої множини визначаються:

  • зовнішня міра Жордана
  • внутрішня міра Жордана
    , якщо

де — паралелепіпеди описаного вище виду.

Множина називається вимірною за Жорданом, якщо . В цьому випадку міра Жордана дорівнює .

Властивості[ред.ред. код]

  • Міра Жордана інваріантна щодо рухів евклідового простору.
  • Обмежена множина вимірна за Жорданом тоді і тільки тоді, коли його границя має міру Жордана рівну нулю .
  • Зовнішня міра Жордана для рівна зовнішній мірі Жордана для (замикання множини ) і рівна мірі Бореля .
  • Вимірні за Жорданом множини утворюють кільце множин, на якому міра Жордана є скінченно аддитивною функцією.

Вимірні і невимірні за Жорданом множини[ред.ред. код]

Усі прямокутники, кулі, симплекси є вимірними за Жорданом. Простим прикладом не вимірної за Жорданом множини є множина раціональних чисел. Зовнішня міра Жордана цієї множини рівна 1, а внутрішня рівна нулю.

Література[ред.ред. код]

  • Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
  • Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;

Див. також[ред.ред. код]