Інтеграл Лебега — Стілтьєса

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

У математичному аналізі інтеграл Лебега — Стілтьєса узагальнює поняття інтеграла Рімана — Стілтьєса і інтеграла Лебега на дійсній прямій. Він є звичайним інтегралом Лебега щодо так званої міри Лебега — Стілтьєса, асоційованої із якоюсь функцією обмеженої варіації на дійсній прямій. Міра Лебега — Стілтьєса є регулярною мірою Бореля і кожна регулярна міра Бореля, що є обмеженою для обмежених множин на дійсній прямій є мірою Лебега — Стілтьєса для деякої неспадної функції.

Іноді також використовуються терміни інтеграл Лебега — Радона або просто інтеграл Радона. Названий на честь Анрі Лебега, Томаса Стілтьєса і Йогана Радона. Інтеграл Лебега — Стілтьєса широко застосовується у теорії ймовірностей, зокрема теорії стохастичних процесів і в деяких розділах математичного аналізу, наприклад теорії потенціалу.

Означення

Міра Лебега — Стілтьєса

Нехай g є монотонно неспадною і неперервною справа функцією на інтервалі [a, b]. Множина інтервалів (s, t], де a ≤ s < t ≤ b разом із одноточковою множиною {a} і порожньою множиною утворює напівкільце множин. Нехай за означенням w((s, t]) = g(t) − g(s) і w({a}) = 0. Подібно можна розглядати випадок коли g є неперервною зліва, w([s,t)) = g(t) − g(s) і w({b}) = 0.

Функція w є (σ-адитивною) мірою на цьому напівкільці. Справді функція є невід'ємною і адитивною. Нехай $(s_{n},\ t_{n}],\quad n\geqslant 1$ є послідовністю інтервалів перетин кожної пари яких є порожньою множиною і $\bigsqcup _{n=1}^{\infty }(s_{n},t_{n}]=(s,t].$ Із означення напівкільця для кожного $N\geqslant 1$ для різниці множин виконується рівність $(s,t]\setminus \bigsqcup _{n=1}^{N}(s_{n},t_{n}]=\bigsqcup _{n=1}^{m}S_{n},$ де всі $S_{n}$ теж є напіввідкритими інтервалами із [a, b]. Із адитивності w тоді: $w((s,t])=\sum _{n=1}^{N}w((s_{n},t_{n}])+\sum _{n=1}^{m}w(S_{n})\geqslant \sum _{n=1}^{N}w((s_{n},t_{n}]).$ Після граничного переходу також $w((s,t])\geqslant \sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},t_{n}]).$

Навпаки із неперервності справа функції g випливає, що для довільного $\varepsilon >0$ існує таке $s'\in (s,\ t),$ що $g(s')-g(s)<\varepsilon$ і тому $w((s,\ t])-w((s',\ t])=g(s')-g(s)<\varepsilon .$

Якщо $t_{n}=b$ для деякого $n\geqslant 1$ то позначимо $t'_{n}=b$ для кожного $n\geqslant 1$, для інших інтервалів із неперервності справа функції g як і вище випливає для кожного $n\geqslant 1$ існування такого $t'_{n}\in (t_{n},\ b)$, що $g(t')-g(t)<{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}$ і тому також $w((s_{n},\ t'_{n}])-w((s_{n},\ t_{n}])=g(t')-g(t)<{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}.$

Множина $[s',\ t]$ є компактною підмножиною $(s,\ t]$, відповідно вона покривається множинами виду $(s_{n},\ t'_{n})$ (і додатково можливо деякою множиною $(s_{i},\ b]$ якщо $t'_{i}=b$; ця множина теж є відкритою у топології на [a, b]), а тому і скінченною кількістю таких множин. Звідси зокрема для деякого $N\geqslant 1$:

$w((s',\ t])\leqslant \sum _{n=1}^{N}w((s_{n},\ t'_{n}])\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},\ t'_{n}]).$

Із попередніх нерівностей також $w((s,\ t])<w((s',\ t])+\varepsilon$ і $w((s_{n},\ t'_{n}])<w((s_{n},\ t_{n}])+{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}$ тому

$w((s,\ t])<w((s',\ t])+\varepsilon <\sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},\ t_{n}])+{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}+\varepsilon <\sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},\ t_{n}])+2\varepsilon .$

Оскільки $\varepsilon >0$ є довільним, то $w((s,\ t])\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},\ t_{n}])$ і враховуючи доведену вище протилежну нерівність остаточно $w((s,\ t])=\sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},\ t_{n}]).$

Оскільки w є (σ-адитивною) мірою на цьому напівкільці то згідно теореми Каратеодорі про продовження, існує єдина міра μ_g на борелівських підмножинах інтервалу [a, b], яка узгоджується із w на кожному інтервалі I. Міра μ_g одержується із зовнішньої міри заданої як

$\mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\ :\ E\subset \bigcup _{i}I_{i}\right\}$

де інфімум береться по всіх покриттях множини E зліченною кількістю напіввідкритих інтервалів. Обмеження цієї зовнішньої міри на σ-алгебру вимірних множин, яка включає борелівську σ-алгебру є локально скінченною і σ-скінченною мірою. Ця міра називається мірою Лебега — Стілтьєса для функції g.

Інтеграл Лебега — Стілтьєса

Нехай спершу  $f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R}$  є вимірною за Борелем і обмеженою, а  $g:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R}$  є монотонною і неперервною справа. Якщо g є неспадною то Інтеграл Лебега — Стілтьєса

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$

за означенням є інтегралом Лебега функції  f  щодо визначеної вище міри Лебега — Стілтьєса μ_g.

Якщо g є незростаючою, тоді за означенням

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x),$

де останній інтеграл визначений як вище.

Якщо функція g має обмежену варіацію і  f  є обмеженою, тоді можна записати

$dg(x)=dg_{1}(x)-dg_{2}(x)$

де g₁(x) = V ^x
_ag є повною варіацією функції g на інтервалі [a, x], а g₂(x) = g₁(x) − g(x). Функції g₁ і g₂ є монотонно неспадними. У цьому випадку інтеграл Лебега — Стілтьєса щодо g за означенням є рівним:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),$

де останні два інтеграли визначені, як і вище.

Інтеграл Деніела

Альтернативно (Hewitt та Stromberg, 1965) інтеграл Лебега — Стілтьєса можна розглядати як інтеграл Даніела, що розширює звичайний інтеграл Рімана — Стілтьєса. Нехай g є неспадною неперервною справа функцією на [a, b], і I( f ) позначає інтеграл Рімана — Стілтьєса:

$I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$

для всіх неперервних функцій  f . функціонал I задає міру Радона на [a, b]. Цей функціонал можна продовжити на клас всіх невід'ємних функцій за правилом:

${\begin{aligned}{\overline {I}}(h)&=\sup \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],0\leq f\leq h\right\}\\{\overline {\overline {I}}}(h)&=\inf \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],h\leq f\right\}.\end{aligned}}$

Для вимірних за Борелем функцій:

${\overline {I}}(h)={\overline {\overline {I}}}(h),$

і будь який із цих функціоналів тоді визначає інтеграл Лебега — Стілтьєса функції h. Зовнішня міра μ_g тоді визначається як

$\mu _{g}(A)={\overline {\overline {I}}}(\chi _{A})$

де χ_A є характеристичною функцією множини A.

Випадок функцій обмеженої варіації можна, як вище звести до попереднього за допомогою розкладу на додатну і від'ємну варіації.

Приклад

Нехай  γ : [a, b] → R² є спрямлюваною кривою на площині і  ρ : R² → [0, ∞) є вимірною за Борелем. Тоді можна розглянути довжину γ щодо евклідової метрики зваженої на ρ:

$\int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t),$

де $\ell (t)$ є довжиною кривої γ обмеженої на [a, t]. Іноді це поняття називається ρ-довжиною кривої γ. Дане поняття має багато застосовань: наприклад на глинистих поверхнях швидкість із якою рухається особа залежить від глибини глинистої поверхні. Якщо  ρ(z) позначає обернене до швидкості у точці z, тоді ρ-довжина γ є часом необхідним щоб пройти γ. Також ρ-довжина використовується для поняття екстремальної довжини, що застосовується у теорії конформних відображень.

Інтегрування частинами

Функція  f  називається "регулярною" у точці a якщо у цій точці існують границі справа і зліва f (a+) і f (a−) і також:

$f(a)={\frac {f(a-)+f(a+)}{2}}.$

Для двох функцій U і V, що мають обмежену варіацію, якщо у кожній точці або хоча б одна з функцій U і V є неперервною або U і V обидві є регулярними, тоді справедливою є формула інтегрування частинами для інтеграла Лебега — Стілтьєса:

$\int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),\qquad -\infty <<b<\infty .$

Тут міра Лебега — Стілтьєса є асоційованою із неперервними справа версіями функцій U і V; тобто із функціями ${\textstyle {\tilde {U}}(x)=\lim _{t\to x^{+}}U(t)}$ і аналогічно для ${\tilde {V}}(x).$ Обмежений інтервал (a, b) можна замінити необмеженими інтервалами (-∞, b), (a, ∞) або (-∞, ∞) якщо U і V мають обмежену варіацію на відповідному інтервалі. Також можна розглядати комплекснозначні функції.

Згідно альтернативного результату, що має важливе значення у теорії стохастичного інтегріування для двох функцій U і V із обмеженою варіацією, які є неперервними справа і мають ліві границі (тобто є càdlàg-функціями):

$U(t)V(t)=U(0)V(0)+\int _{(0,t]}U(s-)\,dV(s)+\int _{(0,t]}V(s-)\,dU(s)+\sum _{u\in (0,t]}\Delta U_{u}\Delta V_{u},$

де ΔU_t = U(t) − U(t−).

Пов'язані поняття

Інтеграл Лебега

Якщо g(x) = x для всіх дійсних x, тоді μ_g є мірою Лебега і інтеграл Лебега — Стілтьєса  f  щодо g є еквівалентним інтегралу Лебега  f .

Іінтеграл Рімана — Стілтьєса і теорія ймовірностей

Якщо  f  є неперервною дійснозначною функцією дійсної змінної і v є неспадною дійсною функцією, інтеграл Лебега — Стілтьєса є еквівалентним інтегралу Стілтьєса.

Інтеграл Стілтьєса найчастіше використовується у теорії ймовірностей де v є функцією розподілу ймовірностей випадкової змінної X. Тоді зокрема:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dv(x)=\mathrm {E} [f(X)].$

Багатовимірний інтеграл Лебега — Стілтьєса

Найчастіше на практиці розглядають одновимірний випадок але можна також дати означення і для вимірних випадків.

Нехай функція g (x, y) від двох змінних задовольняє властивості:

• Якщо $x_{1}\leqslant y_{1}$ і $x_{2}\leqslant y_{2}$ тоді $g(y_{1},y_{2})-g(x_{1},y_{2})-g(y_{1},x_{2})+g(x_{1},x_{2})\geqslant 0.$
• g (x, y) є неперервною справа по кожній окремій змінній.

Тоді для напіввідкритих прямокутників можна визначити:

$\mu _{g}((x_{1},x_{2}]\times (y_{1},y_{2}])=g(y_{1},y_{2})-g(x_{1},y_{2})-g(y_{1},x_{2})+g(x_{1},x_{2}).$

Напіввідкриті прямокутники $(x_{1},x_{2}]\times (y_{1},y_{2}]$ разом із порожньою множиною утворюють напівкільце множин і $\mu _{g}$ є σ—адитивною мірою на ньому. Відповідно аналогічно до одновимірного випадку згідно теореми Каратеодорі цю міру можна продовжити на σ—алгебру, що містить σ—алгебру Бореля. Інтеграл Лебега по цій мірі і називається двовимірним інтегралом Лебега — Стілтьєса.

Як частковий випадок, якщо g, f є неспадними неперервними справа функціями однієї дійсної змінної, то можна взяти

$\mu ((x_{1},x_{2}]\times (y_{1},y_{2}])=(g(y_{2})-g(y_{1}))\cdot (f(x_{2})-f(x_{1})).$

Цей випадок також дає зрозуміти першу умову на функції для двовимірного випадку.

Для вищих розмірностей розглядаються напіввідкриті паралелепіпеди

$(x'_{1},x''_{1}]\times (x'_{2},x''_{2}]\times \ldots \times (x'_{n},x''_{n}].$

Вони із порожньою множиною теж утворюю напівкільце.

Функція $g(x_{1},\ldots ,x_{n})$, що визначає міру Лебега — Стілтьєса має бути неперервною справа по всіх аргументах. Додатково вона повинна задовольняти умову подібну до двовимірного випадку, яку теж найпростіше отримати із часткового випадку неспадних і неперервних справа функцій $g(x_{1}),\ldots ,g(x_{n})$ і визначення міри як

$\mu _{g}((x'_{1},x''_{1}]\times \ldots \times (x'_{n},x''_{n}])=(g_{1}(x''_{1})-g_{1}(x'_{1}))\cdot \ldots \cdot (g_{n}(x''_{n})-g_{n}(x'_{n})).$

Явно умови для функції $g(x_{1},\ldots ,x_{n})$ можна записати так:

• Якщо $x'_{i}\leqslant x''_{i}$ для всіх $i\in \{1,\ldots ,n\}$ то $\sum _{j=1}^{2^{n}}(-1)^{\lambda (j)}g(X_{j})\geqslant 0.$ У цій формулі $X_{j}$ позначає вершини паралелепіпеда $[x'_{1},x''_{1}]\times [x'_{2},x''_{2}]\times \ldots \times [x'_{n},x''_{n}]$ (загальна кількість яких є рівною $2^{n}$). У загальному кожна така вершина має вигляд $X_{j}=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ де кожна $y_{i}$ є рівною $x'_{i}$ або $x''_{i}$. $\lambda (j)$ у формулі позначає кількість тих $y_{i}$ у такому записі точки $X_{j}$ для яких $y_{i}=x'_{i},$ тобто кількість тих координат які на відповідній вершині мають найменше значення на паралелепіпеді.
• $g(x_{1},\ldots ,x_{n})$ є неперервною справа по кожній окремій змінній.

Використовуючи позначення як і вище можна ввести міру:

$\mu _{g}((x'_{1},x''_{1}]\times \ldots \times (x'_{n},x''_{n}])=\sum _{j=1}^{2^{n}}(-1)^{\lambda (j)}g(X_{j}).$

$\mu _{g}$ є σ—адитивною мірою і, знову ж, згідно теореми Каратеодорі цю міру можна продовжити на σ—алгебру, що містить σ—алгебру Бореля. Інтеграл Лебега по цій мірі називається n-вимірним інтегралом Лебега — Стілтьєса.

Див. також

• Інтеграл Даніелла
• Інтеграл Лебега
• Інтеграл Стілтьєса

Література

• Дороговцев, А. Я. (1989), Элементы общей теории меры и интеграла, К.: Вища школа, с. 152, ISBN 5-11-001190-7
• Brunt, B. van; Carter, M. (2000). The Lebesgue-Stieltjes Integral: A Practical Introduction. Undergraduate Texts in Mathematics. Т. 91. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-1174-7. ISBN 978-0-387-95012-9.
• Halmos, Paul R. (1974), Measure Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
• Saks, Stanislaw (1937) [[https://web.archive.org/web/20120204043115/http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=7&wyd=10 Архівовано 4 лютого 2012 у Wayback Machine.] Theory of the Integral.]
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
• S. J. Taylor (1973). Introduction to measure and integration. Cambridge University Press. ISBN 9780521098045.