Міра Хаара

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці міра Хаараміра на локально компактних топологічних групах, що узагальнює міру Лебега в евклідових просторах. Названа на честь угорського математика Альфреда Хаара.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай G локально-компактна топологічна група. Якщо a елемент групи G і Sпідмножина G, тоді можна визначити ліві і праві перенесення:

  • Ліве перенесення:
 a S = \{a \cdot s: s \in S\}.
  • Праве перенесення:
 S a = \{s \cdot a: s \in S\}.

Ліві і праві перенесення множин Бореля є множинами Бореля.

Міра μ на борелівських підмножинах G називається інваріантною щодо лівих перенесень якщо і тільки якщо для всіх борелівських підмножин S групи G і всіх a \in G виконується:

 \mu(a S) = \mu(S). \quad

Подібним чином визначається інваріантність щодо правих перенесень. Борелівська міра \mu(E) називається регулярною, якщо виконуються умови:

  • μ(K) є скінченною для довільної компактної множини K.
  • Довільна борелівська множина E задовольняє умову зовнішньої регулярності:
 \mu(E) = \inf \{\mu(U): E \subseteq U, \} де Uвідкрита множина.
  • Довільна відкрита множина E задовольняє умову зовнішньої регулярності:
 \mu(E) = \sup \{\mu(K): K \subseteq E, \} де Kкомпактна множина.

Для довільної локально-компактної топологічної групи існує єдина з точністю до множення на константу регулярна борелівська міра, що є інваріантною щодо лівих перенесень, і ненульовою . Дана множина називається лівою мірою Хаара. Також існує єдина з точністю до множення на константу регулярна борелівська міра, що є інваріантною щодо правих перенесень, ненульовою. Дана множина називається правою мірою Хаара.

Зв'язок між правими і лівими борелівськими мірами[ред.ред. код]

Нехай G локально-компактна топологічна група і \mu, \nu — ліва і права міри Хаара на ній.

Якщо S \subset G — борелівська множина, і S^{-1} — множина обернених елементів до елементів S то

 \mu_{-1}(S) = \mu(S^{-1}) \quad де \mu — ліва міра Хаара, є правою мірою Хаара. Дійсно:
 \mu_{-1}(S a) = \mu((S a)^{-1}) = \mu(a^{-1} S^{-1}) = \mu(S^{-1}) = \mu_{-1}(S). \quad

Оскільки права міра Хаара є єдиною з точністю до множення на константу, то виконується:

\mu(S^{-1})=k\nu(S)\,

для всіх борелівських множин S, де k — деяке додатне дійсне число.

Інтеграл Хаара[ред.ред. код]

За допомогою міри Хаара можна визначити інтеграл, для всіх вимірних функцій f з аргументами з G. Цей інтеграл називається інтегралом Хаара. Якщо μ — ліва міра Хаара, тоді:

 \int_G f(s x) \ d\mu(x) = \int_G f(x) \ d\mu(x)

Література[ред.ред. код]

  • Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применения. — М.: ИЛ, 1950.
  • Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968.
  • Donald L. Cohn, Measure theory, Birkhäuser, 1997. ISBN 3-7643-3003-1.