Міра множини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Неформально, міра — це функція, що відображає множини на невід'ємні дійсні числа, при цьому, надмножини відображаються на більші числа, ніж підмножини.

Міра множини — спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та -вимірного об'єму для загальніших просторів.

Якщо зворотне не вказане явно, то зазвичай мається на увазі злічено-адитивна міра.

Поняття міри виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики.

Визначення[ред.ред. код]

Теорія міри і інтеграла Лебега була розроблена на початку ХХст. в зв'язку з потребами аналізу та теорії функцій. Абстрактний варіант теорії є математичною основою ряду теоретичних і прикладних розділів сучасної математики .

Скінчено-адитивна міра[ред.ред. код]

Нехай задано простір з виділеним класом підмножин , замкненим щодо скінчених перетинів та об'єднань. Функція називається скінчено-адитивною мірою, якщо вона задовільняє наступним умовам:

  1. ;
  2. Якщо  — скінчене сімейство попарно неперетинних множин із , тобто , то

.

Альтернативне визначення[ред.ред. код]

Функція множини називається мірою, якщо:

  • область визначення функції є напівкільце множин.
  • значення
  •  — адитивна, тобто, для довільного скінченого розкладу ,
    буде виконуватись рівність

Система множин називається напівкільцем, якщо вона містить порожню множину, замкнена по відношеню до утворення перетинів, і якщо з приналежності до множини та випливає можливість представлення множини у вигляді об'єднання , де  — попарно неперетинаючихся множини з , перша з яких є задана множина .

Злічено-адитивна міра[ред.ред. код]

Нехай задано простір з виділеною σ-алгеброю . Функція називається злічено-адитивною (або σ-адитивною) мірою, якщо вона задовільняє наступним вимогам:

  1. ;
  2. (σ-адитивність) Якщо  — злічене сімейство попарно не перетинаючихся множин з , тобто , то
.

Продовження міри[ред.ред. код]

Міра називається продовженням міри , якщо і для кожної виконується рівність:

При цьому, для кожної міри , заданої на деякому напівкільці існує єдине продовження , що має як область визначення кільце (тобто, мінімальне кільце над ).

Примітки[ред.ред. код]

  • Довільна злічено-адитивна міра є скінчено-адитивною, але не навпаки.
  • Якщо міра всього простору скінчена, тобто , то така міра називається скінченою. В протилежному випадку міра нескінчена.
  • На прямій та двовимірній площині існує нескінчена кількість продовжень міри Лебега з σ-алгебри, породжуваної відкритими підмножинами, на множину всіх множин, що зберігає скінчену адитивність міри. Для жодного з нетривіальних евклідових просторів не існує будь-якого злічено-адитивного розширення міри Лебега на можину всіх його підмножин.

Приклади[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Вулих Б. З. (1973). Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). М.: Наука. с. 352. 
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. (1976). Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. с. 251. 

Див. також[ред.ред. код]