Міст (теорія графів)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Граф із 6 мостами (позначені червоним)

В теорії графів, міст — ребро, видалення якого збільшує кількість компонент зв'язності (або, інакше кажучи, відокремлює підграф)[1]. Рівнозначне визначення, ребро є мостом тоді і тільки тоді, коли вони не є частиною будь-якого циклу.

Подвійне покриття циклами[ред. | ред. код]

Графи без мостів породжують цікаву проблему, рішення якої не знайдено досі. Чи вірно, що в будь-якому неорієнтованому графі без мостів існує такий набір циклів, що кожне ребро графу зустрічається в ньому рівно двічі.

Алгоритм знаходження мостів[ред. | ред. код]

Перший алгоритм для знаходження мостів в зв'язному графі за лінійний час був віднайдений Робертом Тарджаном в 1974 році[2].

Алгоритм складається з наступних кроків:

  1. Знайти кістякове дерево для
  2. Створити дерево з коренем з кістякового дерева
  3. Обійти дерево в прямому порядку і пронумеровати вершини. Тепер номери батьківських вершин менші за номери нащадків.
  4. Для кожної вершини при обході у прямому порядку робимо:
    1. Підраховуємо кількість нащадків для цієї вершини.
    2. Підраховуємо і
    3. Для кожної такої, що : якщо і , тоді ребро буде мостом.

Визначення: Ребро поза деревом між і позначається . Ребро в дереві з батьківською позначається .

де батьківська вершина для .

кількість нащадків v (включно із собою) в кістяковому дереві.

і позначки вершин з найменшою і найбільшою позначкою обходу прямого порядку, досяжних з проходом по піддереву з коренем у , разом з щонайбільше одним ребром не в дереві.

Ребро є мостом тоді і тільки тоді, коли з піддерева з коренем у неможливо потрапити у вершину, яка не є нащадком . Це легко перевірити, бо піддерево з коренем у (об'єднує всіх нащадків w) містить наступні вершини , тож ми можемо просто перевірити, знаходяться в цій множині чи ні для перевірки чи є ребро мостом.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Кормен, Томас; Лейзерсон, Чарльз; Рівест, Рональд; Стайн, Кліфорд (2019), Розділ 22: Елементарні алгоритми на графах, Вступ до алгоритмів (вид. 3), К.І.С., с. 633, ISBN 978-617-684-239-2
  2. Tarjan, R. Endre (1974), A note on finding the bridges of a graph, Information Processing Letters, 2 (6): 160—161, doi:10.1016/0020-0190(74)90003-9, MR 0349483.

Посилання[ред. | ред. код]