Міст (теорія графів)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Граф із 6 мостами (позначені червоним)

В теорії графів, міст — ребро, видалення якого збільшує кількість компонент зв'язності (або, інакше кажучі, відокремлює підграф). Рівнозначне визначення, ребро є мостом тоді і тільки тоді, коли вони не є частиною будь-якого циклу.

Подвійне покриття циклами[ред.ред. код]

Графи без мостів породжують цікаву проблему, рішення якої не знайдено досі. Чи вірно, що в будь-якому неорієнтованому графі без мостів існує такий набір циклів, що кожне ребро графа зустрічається в ньому рівно двічі[1].

Алгоритм знаходження мостів[ред.ред. код]

алгоритм для знаходження мостів в зв'язному графі був віднайдений Робертом Тар'яном в 1974.[2] Також існує розподілена версія алгоритму.[3]

Алгоритм:

  1. Знайти кістякове дерево для
  2. створити дерево з коренями з кістякового дерева
  3. Обійти дерево в прямому порядку і пронумеровати вершини. Тепер батьківські вершини мають менші номери ніж дочірні.
  4. Для кожної вершини з (листя дерева) до 1 (корінь дерева) робимо:
    1. Підраховуємо кількість нащадків для цієї вершини.
    2. Підраховуємо і
    3. Для кожної такої, що : якщо і тоді міст.

Визначення: Ребро поза деревом між і позначається . Ребро в дереві з батьківською позначається .

де батьківська вершина для .

кількість нащадків v (включно із собою) в кістяковому дереві.

і позначки вершин з найменшою і найбільшою позначкою обходу прямого порядку, досяжних з проходом по піддереву з коренем у , разом з щонайбільше одним ребром не в дереві.

Ребро є мостом тоді ітільки тоді, коли з піддерева з коренем у неможливо потрапити у вершину, яка не є нащадком . Це легко перевірити, бо піддерево з коренем у (об'єднує всіх нащадків w) містить наступні вершини , тож ми можемо просто перевірити, знаходяться в цій множині чи ні для перевірки чи є ребро мостом.

Примітки[ред.ред. код]

  1. http://www.cems.uvm.edu/%7Earchdeac/problems/cyclecov.htm
  2. "A note on finding the bridges of a graph", Robert Endre Tarjan, Information Processing Letters, April 1974 pp160-161.
  3. http://sma.epfl.ch/~pritchar/math/2006/podc-bicon-a0-poster.pdf


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.