Напівнорма

Напівнорма або переднорма — узагальнення поняття норми; на відміну від норми напівнорма може бути рівною нулю на ненульових елементах простору.

Визначення

Напівнормою називається функція $p\colon L\to \mathbb {R}$, у лінійному просторі $L\,$ над полем дійсних або комплексних чисел, що задовольняє наступним умовам:

1. Абсолютна однорідність: $p(\alpha x)=|\alpha |p(x)\,$ для будь-якого скаляра $\alpha \,$
2. Нерівність трикутника: $p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)$ для всіх $x,y\in L$

Простір ${(L,\;p)}$ називається напівнормованим простором.

Властивості

• $p(0)=0\,$

Ця властивість одержується з першої умови визначення і рівності $0\cdot 0=0$, тут перший нуль належить полю дійсних або комплексних чисел, а другий і третій — простору $L.\,$

$p(0)=p(0\cdot 0)=|0|\cdot p(0)=0$

• $p(x)=p(-x)\,$

Ця властивість також є наслідком першої умови при $\alpha =-1\,$.

• $p(x)\geqslant 0$

Якщо припустити існування такого $x^{*}\,$, що $p(x^{*})\,<0$, то з першої умови визначення одержується, що і $p(-x^{*})<0\,$. Скориставшись другою умовою $p(0)=p(x^{*}-x^{*})\leqslant p(x^{*})+p(-x^{*})<0$ одержуємо суперечність з першою властивістю.

Джерела

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (PDF) (англ.) (вид. 2nd). New York: McGraw-Hill. с. 424.