Невироджена матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Неви́роджена ма́триця (неособли́ва, несингуля́рна, інверто́вана) — квадратна матриця, визначник якої не дорівнює нулю:

Властивості[ред. | ред. код]

Приклад[ред. | ред. код]

Методи обернення матриці[ред. | ред. код]

Метод Гауса[ред. | ред. код]

Метод Ньютона[ред. | ред. код]

Метод Гамільтона — Келі[ред. | ред. код]

Власний розклад матриці[ред. | ред. код]

Розклад Холецького[ред. | ред. код]

Аналітичний розв'язок[ред. | ред. код]

Обернення блоками[ред. | ред. код]

Також матриці можна обернути блоками через використання такої формули:

де A, B, C і D це блоки матриці довільного розміру. (A і D повинні бути квадратними, щоб їх можна було обернути. Більше того, A і DCA−1B повинна бути невиродженою.[1]) Цей підхід особливо вигідний якщо A є діагональною і DCA−1B (доповнення Щура щодо A) це маленька матриця, оскільки лише ці дві матриці потребують обернення.

Теорема виродженості говорить про те, що виродженість A дорівнює виродженості підблока в нижньому правому куті оберненої матриці, і що виродженість B дорівнює виродженості підблока в горішньому правому куті оберненої матриці.

Процедура обернення, що призвела до рівняння (1) виконувала блокові матричні операції, які спочатку працювали на C і D . Натомість, якщо почати з A і B, і за умови несингулярності D і ABD−1C ,[2] the result is

Прирівнявши (1) і (2) отримуємо

де рівняння (3) є лемою обернення матриці.

Оскільки поблокове обернення матриці потребує обернення двох матриць половинного розміру і 6 множень між матрицями половинного розміру, можна показати, що алгоритм розділяй та володарюй, який використовує поблокове обернення для обернення матриці виконується з такою ж часовою складністю, що й алгоритм множення матриць.[3]

Через ряд Неймана[ред. | ред. код]

Дивись також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Bernstein, Dennis (2005). Matrix Mathematics. Princeton University Press. с. 44. ISBN 0-691-11802-7. 
  2. Bernstein, Dennis (2005). Matrix Mathematics. Princeton University Press. с. 45. ISBN 0-691-11802-7. 
  3. Томас Кормен; Чарльз Лейзерсон, Рональд Рівест , Кліффорд Штайн (2009) [1990]. 28.2 Inverting matrices. Вступ в алгоритми (вид. 3rd). MIT Press і McGraw-Hill. с. 827–831. ISBN 0-262-03384-4. 

Джерела[ред. | ред. код]