Незалежність системи аксіом

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Незалежність системи аксіом ― властивість системи аксіом даної аксіоматичної теорії, що полягає в тому, що кожна аксіома є незалежною, тобто не є логічним наслідком з множини інших аксіом цієї теорії. Систему аксіом, що має цю властивість, називають незалежною.

Опис[ред. | ред. код]

Незалежність тієї чи іншої аксіоми даної аксіоматичної теорії означає, що цю аксіому можна без суперечності замінити її запереченням. Іншими словами, аксіома незалежна в тому і тільки в тому випадку, якщо є інтерпретація, за якої ця аксіома помилкова, а всі інші аксіоми даної теорії істинні. Побудова такої інтерпретації є класичним методом доведення незалежності.

Під час побудови аксіоматичної теорії у вигляді формальної системи, де відношення логічного слідування формалізується у вигляді поняття вивідності, аксіома вважається незалежною, якщо її не можна вивести з інших аксіом за допомогою правил виведення даної формальної системи. Для широкого класу формальних систем (так званих теорій 1-го порядку) незалежність відносно вивідності збігається з незалежністю відносно логічного слідування.

Стосовно до формальних систем і взагалі обчислень є сенс говорити про незалежність правил виведення. Правило виведення називають незалежним, якщо існує теорема даного числення, яку не можна вивести без використання цього правила.

Незалежність системи аксіом сама по собі не є обов'язковою властивістю аксіоматичної теорії. Вона лише свідчить про те, що сукупність початкових положень теорії не є надлишковою, і надає деякі технічні зручності.

Однак дослідження, присвячені незалежності системи аксіом, і доведення незалежності сприяють кращому розумінню досліджуваної теорії. Досить згадати, який вплив на розвиток математики справило питання про незалежність п'ятого постулату Евкліда в системі аксіом геометрії.

Застосування у теоретичній фізиці[ред. | ред. код]

Від 2000-х років зрозуміло, що логічна незалежність є надзвичайно важливою в основах фізики.[1][2]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Paterek, T.; Kofler, J.; Prevedel, R.; Klimek, P.; Aspelmeyer, M.; Zeilinger, A.; Brukner, Č. (2010). Logical independence and quantum randomness. New Journal of Physics 12: 013019. Bibcode:2010NJPh...12a3019P. arXiv:0811.4542. doi:10.1088/1367-2630/12/1/013019. 
  2. Székely, Gergely (2013). The Existence of Superluminal Particles is Consistent with the Kinematics of Einstein's Special Theory of Relativity. Reports on Mathematical Physics 72 (2): 133–152. Bibcode:2013RpMP...72..133S. arXiv:1202.5790. doi:10.1016/S0034-4877(13)00021-9.