Незвідний многочлен

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Для довільного поля F, многочлен з коефіцієнтами в F (такі многочлени утворюють кільце ) називається незвідним у полі якщо він не рівний константі і не дорівнює добутку двох або більше многочленів з , що не є константами. Дана властивість залежить від поля F; многочлен, що є незвідним в одному полі може розкладатися на добуток в іншому.

Кожен многочлен у може бути розкладений в добуток многочленів, що є незвідними в F. Цей розклад на множники є однозначно визначеним з точністю до перестановки множників і множення многочленів у розкладі на константи з поля F.

Прості приклади[ред.ред. код]

Наступні п'ять многочленів демонструють деякі елементарні властивості незвідних многочленів:

,
,
,
,
.

Над кільцем цілих чисел, перші два многочлени є звідними, останні два є незвідними. (Третій, звичайно, не є многочленом над цілими числами.)

Над полем раціональних чисел, перші три многочлени є звідними, двоє інших — незвідні.

Над полем дійсних чисел, перші чотири многочлени — звідні, але є незвідним.

Над полем комплексних чисел, всі п'ять многочленів звідні. Фактично, кожен відмінний від константи многочлен над може бути розкладений на множники виду:

де степінь многочлена, — старший коефіцієнт, корені . Тому єдиними незвідними многочленами над є лінійні многочлени (основна теорема алгебри).

Дійсні і комплексні числа[ред.ред. код]

Як показано вище, тільки лінійні многочлени є незвідними в полі комплексних чисел. В полі дійсних чисел незвідними є лінійні многочлени і квадратичні многочлени без дійсних коренів . Наприклад розклад многочлена в полі дійсних чисел має вигляд Обидва множники в даному розкладі є незвідними многочленами.

Скінченні поля[ред.ред. код]

Многочлени з цілочисельними коефіцієнтами, які є незвідними над полем можуть бути звідними над скінченним полем. Наприклад, многочлен є незвідним над але над полем з двох елементів може бути звідним. Наприклад у , ми маємо:

Незвідність многочлена над цілими числами пов'язана з незвідністю у полі з елементів (для простого числа ). А саме, якщо многочлен над з старшим коефіцієнтом є звідним у тоді він є звідним у для будь-якого простого числа . Зворотне твердження невірне.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]