Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Незміщена оцінка в математичній статистиці — це точкова оцінка , математичне сподівання якої рівне параметру, що оцінюється.
Статистика
θ
^
{\displaystyle {\hat {\theta }}}
θ
{\displaystyle \theta \,}
[1]
μ
θ
^
=
E
(
θ
^
)
=
θ
{\displaystyle \mu _{\hat {\theta }}=\operatorname {E} ({\hat {\theta }})=\theta }
В іншому випадку оцінка називається зміщеною, а випадкова величина
θ
^
−
θ
{\displaystyle {\hat {\theta }}-\theta }
зміщенням .
Вибіркове середнє
X
¯
=
1
n
∑
i
=
1
n
X
i
{\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
E
X
i
=
μ
<
∞
,
∀
i
∈
N
{\displaystyle \mathbb {E} X_{i}=\mu <\infty ,\;\forall i\in \mathbb {N} }
E
X
¯
=
μ
{\displaystyle \mathbb {E} {\bar {X}}=\mu }
Нехай випадкові величини
X
i
{\displaystyle X_{i}}
дисперсію
D
X
i
=
σ
2
{\displaystyle \mathrm {D} X_{i}=\sigma ^{2}}
S
n
2
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
¯
)
2
{\displaystyle S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}
вибіркова дисперсія , і :
S
2
=
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
¯
)
2
{\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}
виправлена вибіркова дисперсія .
Тоді
S
n
2
{\displaystyle S_{n}^{2}}
S
2
{\displaystyle S^{2}}
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
S
n
2
{\displaystyle S_{n}^{2}}
E
[
S
n
2
]
=
E
[
1
n
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
¯
)
2
]
=
E
[
1
n
∑
i
=
1
n
(
(
X
i
−
μ
)
−
(
X
¯
−
μ
)
)
2
]
=
E
[
1
n
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
μ
)
2
−
2
(
X
¯
−
μ
)
1
n
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
μ
)
+
(
X
¯
−
μ
)
2
]
=
E
[
1
n
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
μ
)
2
−
(
X
¯
−
μ
)
2
]
=
σ
2
−
E
[
(
X
¯
−
μ
)
2
]
=
σ
2
−
1
n
σ
2
=
n
−
1
n
σ
2
<
σ
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [S_{n}^{2}]&=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}{\bigg ]}=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\big (}(X_{i}-\mu )-({\overline {X}}-\mu ){\big )}^{2}{\bigg ]}\\&=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}-2({\overline {X}}-\mu ){\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )+({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}\\&=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}-({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}=\sigma ^{2}-\operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}\\&=\sigma ^{2}-{\frac {1}{n}}\sigma ^{2}={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}<\sigma ^{2}.\end{aligned}}}
Де
μ
{\displaystyle \mu }
X
¯
{\displaystyle {\overline {X}}}
↑ Walpole Roland E., Myers Raymond H. Probability and Statistics for Engineers and Scientists. — 3-th. edition, Macmillan Publishing Company. — New York, 1985. — 639 p.
M. G. Kendall. «The advanced theory of statistics (vol. I). Distribution theory (2nd edition)». Charles Griffin & Company Limited, 1945.
M. G. Kendall and A. Stuart. «The advanced theory of statistics (vol. II). Inference and relationship (2nd edition)». Charles Griffin & Company Limited, 1967.
A. Papoulis. Probability, random variables, and stochastic processes (3rd edition). McGrow-Hill Inc., 1991.
G. Saporta. «Probabilités, analyse des données et statistiques». Éditions Technip, Paris, 1990.
J. F. Kenney and E. S. Keeping. Mathematics of Statistics. Part I & II. D. Van Nostrand Company, Inc., 1961, 1959.
I. V. Blagouchine and E. Moreau: «Unbiased Adaptive Estimations of the Fourth-Order Cumulant for Real Random Zero-Mean Signal», IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 57, no. 9, pp. 3330-3346, September 2009. An Illuminating Counterexample
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [S_{n}^{2}]&=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}{\bigg ]}=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\big (}(X_{i}-\mu )-({\overline {X}}-\mu ){\big )}^{2}{\bigg ]}\\&=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}-2({\overline {X}}-\mu ){\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )+({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}\\&=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}-({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}=\sigma ^{2}-\operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}\\&=\sigma ^{2}-{\frac {1}{n}}\sigma ^{2}={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}<\sigma ^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4242dda4dc9ee074b2497c2b8d5fd13a0ae415ae)
