Нелінійне рівняння Шредінгера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нелінійне або кубічне рівняння Шредінгера (НРШ, англ. Nonlinear Schrödinger equation (NLS)) — нелінійне рівняння в частинних похідних другого порядку, що грає важливу роль в теорії нелінійних хвиль, зокрема, в нелінійній оптиці і фізиці плазми. Є узагальненням лінійного параболічного рівняння, відомого в квантовій механіці як рівняння Шредінгера


Рівняння має вигляд:

i\frac{\partial u}{\partial t} = - u\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x} + 2\kappa|u|^2u

де u(x, t) — комплекснозначна функція.

Значення у фізиці[ред.ред. код]

Будучи нелінійним узагальненням параболічного рівняння, нелінійне рівняння Шредінгера описує динаміку хвильових пакетів в середовищах з дисперсією і кубічною нелінійністю. Подібна ситуація зустрічається, наприклад, при поширенні електромагнітних хвиль в плазмі: з одного боку плазма є диспергуючої середовищем, з іншого боку, при досить високих амплітудах хвилі проявляється пондеромоторна нелінійність , яка в деяких випадках може бути апроксимирована кубічним членом. Іншим прикладом є поширення світла в нелінійних кристалах з дисперсією: у багатьох випадках квадратична нелінійність мала або тотожно дорівнює нулю в силу центральної симетрії кристалічної решітки, тому враховується тільки кубічний член.

Розвязки[ред.ред. код]

Для нелінійного рівняння Шредінгера знайдено велику кількість точних розв'язків, що предствляють собою стаціонарні нелінійні хвилі. Зокрема, розв'язком є функції вигляду:

u(x, t) = \exp\left\{irx - ist\right\}v(x - Ut)

де r, s, U — сталі, що повязані співвідношеннями:

r = \frac{U}{2} \qquad s = \frac{U^2}{4} - \alpha

а функція v(q) задовільняє звичайному диференційному рівнянню вигляду:

\frac{d^2v}{dq^2} - \alpha v + \nu v^3 = 0

Періодичні розвязки мають форму кноїдальних хвиль. Крім того, є локалізований розвязок солітонного типу:

v = \frac{\sqrt{2\alpha/\nu}}{\cosh^2\left[\sqrt{\alpha}\left(x - Ut\right)\right]}

Джерела[ред.ред. код]

  • Физическая энциклопедия. Т.2. Гл.ред. А.М.Прохорова. М. Сов.энциклопедия. 1988.- 705с.
  • Линейные и нелинейные волны. Дж. Уизем — Мир, 1977. — С. 574—578. — 622 с.