Нелінійне рівняння Шредінгера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нелінійне або кубічне рівняння Шредінгера (НРШ, англ. Nonlinear Schrödinger equation (NLS)) — нелінійне рівняння в частинних похідних другого порядку, що грає важливу роль в теорії нелінійних хвиль, зокрема, в нелінійній оптиці і фізиці плазми. Є узагальненням лінійного параболічного рівняння, відомого в квантовій механіці як рівняння Шредінгера


Рівняння має вигляд:

де  — комплекснозначна функція.

Значення у фізиці[ред.ред. код]

Будучи нелінійним узагальненням параболічного рівняння, нелінійне рівняння Шредінгера описує динаміку хвильових пакетів в середовищах з дисперсією і кубічною нелінійністю. Подібна ситуація зустрічається, наприклад, при поширенні електромагнітних хвиль в плазмі: з одного боку плазма є диспергуючої середовищем, з іншого боку, при досить високих амплітудах хвилі проявляється пондеромоторна нелінійність, яка в деяких випадках може бути апроксимована кубічним членом. Іншим прикладом є поширення світла в нелінійних кристалах з дисперсією: у багатьох випадках квадратична нелінійність мала або тотожно дорівнює нулю в силу центральної симетрії кристалічної решітки, тому враховується тільки кубічний член.

Розвязки[ред.ред. код]

Для нелінійного рівняння Шредінгера знайдено велику кількість точних розв'язків, що предствляють собою стаціонарні нелінійні хвилі. Зокрема, розв'язком є функції вигляду:

де r, s, U — сталі, що повязані співвідношеннями:

а функція v(q) задовільняє звичайному диференційному рівнянню вигляду:

Періодичні розвязки мають форму кноїдальних хвиль. Крім того, є локалізований розвязок солітонного типу:

Джерела[ред.ред. код]

  • Физическая энциклопедия. Т.2. Гл.ред. А.М.Прохорова. М. Сов.энциклопедия. 1988.- 705с.
  • Линейные и нелинейные волны. Дж. Уизем — Мир, 1977. — С. 574—578. — 622 с.