Нерівність Єнсена

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нерівність Єнсена — зв'язує визначений інтеграл опуклої функції та значення цієї функції від інтеграла. Вона була доведена данським математиком Йоганом Єнсеном у 1906 році.[1]

Дискретний випадок[ред.ред. код]

Для дійсної опуклої функції φ, та чисел x1, x2,…,xn з її області визначення та додатніх чисел ai, справджується:

нерівність міняє знак, коли φ — ввігнута функція.

Частковим випадком є:

Позначивши отримаємо еквівалентне формулювання:

де:

За допомогою нерівності Йєнсена в даному вигляді можна довести:

Імовірнісне формулювання[ред.ред. код]

Нехай  — простір імовірностей, і  — визначена на ньому випадкова величина. Нехай також  — інтегровна опукла функція. Тоді

,

Де  — математичне очікування.

Більш загально теорему можна сформулювати для умовного математичного очікування.

Нехай додатково маємо  — під-σ-алгебра подій. Тоді

,

де позначає умовне математичне очікування відносно σ-алгебри .

Доведення[ред.ред. код]

Дискретний випадок[ред.ред. код]

Якщо λ1 і λ2 — два довільні додатні дійсні числа, такі що: λ1 + λ2 = 1 тоді враховуючи опуклість маємо

Цю нерівність можна узагальнити: якщо λ1, λ2, …, λn є додатніми дійсними числами, такими що λ1 + … + λn = 1, тоді

для будь-яких x1, …, xn.

Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений методом математичної індукції. Згідно з припущенням індукції твердження справедливе для n = 2. Припустимо воно справедливе для певногго даного n і потрібно довести нерівність для n + 1. Принаймі одне λi є строго додатнім, припустимо(без втрати загальності) λ1. За означенням опуклості:

Оскільки , до другого доданку правої сторони останньої формули можна застосувати припущення індукції, після чого отримуємо бажаний результат.

Замітки[ред.ред. код]

  1. Jensen, J. L. W. V. (1906). Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes. Acta Mathematica 30 (1). с. 175–193. doi:10.1007/BF02418571.  Вказано більш, ніж один |author= та |last= (довідка)

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]