Нерівність Гельдера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нерівність Гельдера в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах — це фундаментальна властивість просторів L^p.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай (X,\mathcal{F},\mu)простір з мірою, L^p \equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu) — простір функцій вигляду f:X \to \R із скінченним інтегровним p-им степенем.

Тоді в останньому визначена норма

\|f\|_p = \left( \; \int\limits_X |f(x)|^p \, \mu(dx)\; \right)^{1/p}, \qquad p \ge 1.

Нехай

f \in L^p, \quad g \in L^q, \quad p,q \ge 1, \quad \frac1p + \frac1q = 1.

Тоді

f \cdot g \in L^1, \quad \|f \cdot g\|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q

Часткові випадки[ред.ред. код]

Нерівність Коші — Буняковского[ред.ред. код]

Поклавши p = q = 2, отримуємо Нерівність Коші—Буняковского для простору L^2.

Евклідів простір[ред.ред. код]

Розглянемо Евклідів простір E = \R^n або \C^n. L^p-норма у цьому просторі має вигляд:

\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1,\ldots, x_n)^{\top},

тоді:  \sum\limits_{i=1}^n |x_i \cdot y_i| \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^q \right)^{1/q}, \quad \forall x,y \in E.

Простір lp[ред.ред. код]

Нехай X = \N, \, \mathcal{F} = 2^\N, \, mскінченна міра на \N. Тоді множина всіх послідовностей \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, таких що

\|x\|_p = \sum_{i=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty,

називається l^p. Нерівність Гельдера для цього простору має вигляд:

 \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q}, \quad \forall x \in l^p, y\in l^q.

Ймовірнісний простір[ред.ред. код]

Нехай (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})ймовірнісний простір. Тоді L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) складається з випадкових величин із скінченним pмоментом: \mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty, де символ \mathbb{E} позначає математичне сподівання.

Нерівність Гельдера в цьому випадку має вигляд:

 \mathbb{E}|XY| \le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} \cdot \left( \mathbb{E}|Y|^q \right)^{1/q}, \quad \forall X \in L^p, Y \in L^q.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Э. Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства. Москва: Мир.