Нерівність Гельдера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нерівність Гельдера в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах — це фундаментальна властивість просторів .

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай простір з мірою, — простір функцій вигляду із скінченним інтегровним -им степенем.

Тоді в останньому визначена норма

Нехай

Тоді

Доведення[ред.ред. код]

Лема[ред.ред. код]

Нехай — неперервна строго висхідна функція. Тоді існує обернена функція і тоді для всіх додатних і

Нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді якщо

Власне доведення[ред.ред. код]

Доведення нерівності Гельдера покладається на такий факт:

для всіх і для будь-яких додатних сталих і

(1)

де тобто

Для нерівність очевидна: оскільки і звідси з цього

Доведемо нерівність у загальному випадку. Використаємо лему наведену вище. Візьмімо Оскільки маємо і є неперервною і строго висхідною функцією. Отже, і з леми ми отримуємо

Видно, що нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді коли що тотожно до

Покладемо і Завдяки (1) ми знаходимо

і звідси, беручи суму по всіх від 1 до

Отже, що і потрібно було довести.

Часткові випадки[ред.ред. код]

Нерівність Коші — Буняковского[ред.ред. код]

Поклавши , отримуємо Нерівність Коші—Буняковского для простору .

Евклідів простір[ред.ред. код]

Розглянемо Евклідів простір або . -норма у цьому просторі має вигляд:

,

тоді: .

Простір lp[ред.ред. код]

Нехай скінченна міра на . Тоді множина всіх послідовностей , таких що

,

називається . Нерівність Гельдера для цього простору має вигляд:

.

Ймовірнісний простір[ред.ред. код]

Нехай ймовірнісний простір. Тоді складається з випадкових величин із скінченним моментом: , де символ позначає математичне сподівання.

Нерівність Гельдера в цьому випадку має вигляд:

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]