Нерівність Маркова

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нері́вність Ма́ркова у теорії ймовірності дає оцінку ймовірності того, що випадкова величина перевищить за модулем фіксовану додатну константу, в термінах її математичного сподівання. Отримувана оцінка зазвичай досить груба. Проте, вона дозволяє отримати певне уявлення про розподіл, коли він не є явно відомим.

Формулювання[ред.ред. код]

В термінах теорії міри, нерівність Маркова стверджує, що для вимірного простору з мірою заданій на ньому, вимірної узагальнено-дійснозначної функції f і t > 0, маємо

У випадку коли міра простору 1 (тобто, маємо справу з ймовірносним простором), твердження нерівності можна представити: нехай випадкова величина визначена на ймовірносному просторі , і її математичне сподівання скінченне. Тоді для a>0

,

де .

якщо розглянути випадкову величину , то отримаємо нерівність Чебишева:

Доведення[ред.ред. код]

Припустимо, що функція невід'ємна, оскільки у рівнянні з'являються лише абсолютні значення. Тепер, розглянемо дійснозначиму функцію на задану через

Тоді . Згідно з визначенням інтеграла Лебега

і, з того, що , обидві сторони можна поділити на , отримуючи

Приклад[ред.ред. код]

Хай  — невід'ємна випадкова величина. Тоді, узявши , отримаємо

.

Див. також[ред.ред. код]