Нерівність Маркова

Нері́вність Ма́ркова у теорії ймовірності дає оцінку ймовірності того, що випадкова величина перевищить за модулем фіксовану додатну константу, в термінах її математичного сподівання. Отримувана оцінка зазвичай досить груба. Проте, вона дозволяє отримати певне уявлення про розподіл, коли він не є явно відомим.

Формулювання

В термінах теорії міри, нерівність Маркова стверджує, що для вимірного простору $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ з мірою $\displaystyle \mu$ заданій на ньому, вимірної узагальнено-дійснозначної функції f і t > 0, маємо

\mu (\{x\in X:|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t}\int _{X}|f|\,d\mu .

У випадку коли міра простору 1 (тобто, маємо справу з ймовірносним простором), твердження нерівності можна представити: нехай випадкова величина $X:\Omega \to \mathbb {R}$ визначена на ймовірносному просторі $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ , і її математичне сподівання скінченне. Тоді для a>0

{\textrm {P}}\left(|X|\geq a\right)\leq {\frac {{\textrm {E}}|X|}{a}}

,

де $a>0$ .

якщо розглянути випадкову величину $\displaystyle X-{\textrm {E}}(X)$ , то отримаємо нерівність Чебишева:

{\textrm {P}}(|X-{\textrm {E}}(X)|\geq a)={\textrm {P}}(|X-{\textrm {E}}(X)|^{2}\geq a^{2})\leq {\frac {{\textrm {Var}}(X)}{a^{2}}}.

Доведення

Мовою теорії ймовірності

З означення сподівання:

\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx

Однак, X невід'ємна випадкова змінна тому,

\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }xf(x)\,dx

З цього отримуємо,

\operatorname {E} (X)=\int _{0}^{a}xf(x)\,dx+\int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }af(x)\,dx=a\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=a\operatorname {P} (X\geq a)

Тепер легко видно, що

\operatorname {P} (X\geq a)\leq \operatorname {E} (X)/a

Мовою теорії міри

Припустимо, що функція $f$ невід'ємна, оскільки у рівнянні з'являються лише абсолютні значення. Тепер, розглянемо дійснозначиму функцію $s$ на $X$ задану через