Нескінченновимірний простір

Нескінченновимірний простір — векторний простір із нескінченно великою розмірністю. Вивчення нескінченновимірних просторів і їх відображень є головним завданням функціонального аналізу. Найпростішими нескінченновимірними просторами є гільбертові простори, найближчі за властивостями до скінченновимірних евклідових просторів.

Визначення

Лінійний векторний простір називають нескінченновимірним, якщо для будь-якого цілого числа $N>0$ у ньому знайдеться лінійно незалежна система, що складається з $N$ векторів.

Базис

Для нескінченновимірного простору існують різні визначення базису. Так, наприклад, базис Гамеля визначають як множину векторів у лінійному просторі, таких, що будь-який вектор простору можна подати у вигляді деякої їх скінченної лінійної комбінації єдиним чином.

Для топологічних векторних просторів можна визначити базис Шаудера. Система елементів $\left\{e_{k}\right\}$ утворює базис Шаудера простору $E$, якщо кожен елемент $x\in E$ можна подати єдиним чином у вигляді збіжного ряду $x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k}$. Базис Шаудера існує не завжди.

Приклади

• Лінійний простір неперервних на даному проміжку функцій.
• Гільбертів простір, утворений нескінченною послідовністю чисел $x=(\xi _{1},...,\xi _{k},...)$ зі збіжною сумою квадратів $\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}^{2}<\infty$.
• Множина всіх многочленів.
• Фазовий простір у статистичній фізиці є майже нескінченновимірним.
• Простір квадратично-сумованих послідовностей

Властивості

• Нескінченновимірний простір не ізоморфний ніякому скінченновимірному[8].

Див. також

• Скінченновимірний простір

Література

• Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М. : Физматлит, 2004. — 464 с. — ISBN 5-9221-0386-5.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М. : Наука, 1961. — 436 с.
• під ред. Крейна С.Г. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1964. — 424 с. — 17500 прим.