Нескінченно мала величина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нескінченно мала величина — числова функція або послідовність, яка прямує до нуля.

Обчислення нескінченно малих — обчислення з нескінченно малими величинами, при яких результат розглядається як нескінченна сума нескінченно малих. Обчислення нескінченно малих складає основу диференціювання та інтегрування.

Нескінченно мала[ред.ред. код]

Означення[ред.ред. код]

Послідовність називається нескінченно малою, якщо . Наприклад, послідовність чисел — нескінченно мала.

Це ж означення можна викласти і в іншому формулюванні. Послідовність називається нескінченно малою, якщо вона по абсолютному значенню стає і залишається меншою як завгодно малого наперед заданого числа ε > 0, починаючи з деякого місця.

Жодне число окрім нуля не може бути віднесене до нескінченно малих величин.

Властивості нескінченно малої[ред.ред. код]

  • Алгебраїчна сума декількох нескінченно малих величин є також величина нескінченно мала
  • Різниця двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала
  • Добуток обмеженої змінної величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала
  • Відношення двох нескінченно малих величин - невизначеність

Границя нескінченно малої

Постійне число а називається границею послідовності , якщо різницею між ними є нескінченно мала величина.

Інші означення нескінченно малої[ред.ред. код]

Функція називається нескінченно малою в околиці точки , якщо .

Функція називається нескінченно малою на нескінченності, якщо або .

Також нескінченно малою є функція, що являє собою різницю функції і її границі, тобто якщо є , то , .

Інфінітезимальнийматематичний термін, що вживається, як синонім поняття «нескінченно малий»

Класифікація нескінченно малих величин[ред.ред. код]

Порівняння нескінченно малих[ред.ред. код]

Нескінченно малі величини порівнюють між собою по характеру їх наближення до нуля.

  • Якщо відношення (а з ним і ) мають скінченну і відмінну від нуля границю, то нескінченно малі та

вважаються величинами одного порядку.

  • Якщо ж відношення само виявляється нескінченно малою (а зворотне відношення нескінченно великою), то нескінченно мала вважається величиною вищого порядку малості, ніж нескінченно мала , та одночасно нескінченно мала буде нижчого порядку малості, ніж нескінченно мала .

Якщо нескінченно мала виявляється вищого порядку, ніж нескінченно мала , то цей факт записують так:

Шкала нескінченно малих[ред.ред. код]

При потребі в точнішій порівняльній характеристиці поводження нескінченно малих, у виразі їх порядків числами, вибирають в ролі "еталона" одну з нескінченно малих, її називають основною. Далі з ступеней основної нескінченно малої (будемо вважати, що ) з різними додатніми показниками, , складають як би шкалу для оцінки нескінченно малих складнішої природи.

  • Домовляються вважати нескінченно малу величиною к-го порядку (відносно основної нескінченно малої ), якщо та (k > 0) будуть величинами одного порядку, тобто якщо відношення має кінцеву та відмінну від нуля границю.

Еквівалентні нескінченно малі[ред.ред. код]

  • Нескінченно малі та вважаються еквівалентними (в знаках ), якщо їх різниця є величиною вищого порядку, ніж кожна з нескінченно малих та :

та

Розглянемо дві еквівалентні нескінченно малі та , так що , де . Якщо наближено припустити , то - в міру зменшення обох величин - прагне до нуля не тільки абсолютна похибка цієї заміни, позначена як , але і відносна похибка, що дорівнює . Іншими словами, при достатньо малих значеннях та можна зі скільки завгодно великою відносною точністю взяти, що . На цьому базується, при наближених викладках, заміна складних нескінченно малих еквівалентними їм простими.

Друге означення еквівалентності (рівносильне першому):

  • Для того, щоб дві нескінченно малі та були еквівалентні, необхідно та достатньо, щоб було

Доведення:

Нехай спочатку виконується дане співвідношення, так що

Тоді

буде величиною вищого порядку, ніж , тому що

Обернено, нехай тепер та еквівалентні, тобто нескінченно мала вищого порядку, ніж . Наслідком цього маємо

, звідкіля

Що і потрібно було довести.

Виокремлення головної частини[ред.ред. код]

Якщо вибрана основна нескінченно мала , то найпростішими нескінченно малими будемо вважати величини вигляду , де с - постійний коефіцієнт і k > 0. Нехай нескінченно мала буде k-го порядку відносно , тобто

Де с - скінченне та відмінне від нуля число. Тоді

і нескінченно малі та виявляються еквівалентними: .

Ця найпростіша нескінченно мала , еквівалентна даній нескінченно малій , називається її головною частиною (або головним членом)

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]