Нескінченність
Нескінче́нність (символ: ∞) — категорія людського мислення, яку використовують для характеристики безмежних, невичерпних предметів і явищ, для яких є неможливим вказання меж або кількісної міри. Її використовують на противагу скінченному, обчислюваному, такому, що має межу.
Термін нескінче́нність може описувати декілька різних понять, залежно від області застосування, будь це математика, фізика, філософія, теологія чи повсякденне життя.
У фізиці та космології залишається відкритим питання, чи є Всесвіт просторово нескінченним.
Питання нескінченності хвилювало грецьких філософів ще до Сократа. Вони розглядали нескінченність як у сенсі нескінченно великого (безмежного простору, вічного часу) так і нескінченно малого.
Анаксімандр ввів поняття апейрону (грец. ἄπειρον, «безкінечне, безмежне») для позначення джерела всього що існує.
Піфагорейці загалом з підозрою ставилися до концепту нескінченності, проте один з них, Архіт Тарентський першим (з відомих нам) філософів доводив що простір є нескінченним. Він використовував наступний уявний експеримент: припустимо, світ десь закінчується і ми стоїмо на його межі. Тоді, якщо ми спробуємо випростати руку або палку за межі всесвіту, то нам або це вдасться, що означатиме що простір існує і там, або ж щось не дасть нам цього зробити — а отже за межею знаходиться якась матерія. З того що у простора немає меж він робив висновок що простір нескінченний (наразі відомо що ці концепції не є ідентичними — замкнений простір може не мати меж, але бути скінченним за об'ємом)[1].
Зенон Елейський зробив значний вклад в розуміння нескінченності. Він сформулював кілька апорій, уявних експериментів що застосовували концепцію нескінченної подільності до звичайних речей, таких як рух, простір, час — і показав що при цьому виникають парадокси[2].
1. Парадокс множинності: будь-який набір речей містить деяку визначену кількість речей. Але якщо існують дві речі, то між ними можна розмістити ще одну (інакше вони не могли б вважатися двома різними речами). І це можна продовжувати до нескінченності. А отже існує лише одна річ[3].
З цього парадоксу можна зробити висновок що Зенон вважав що не може існувати нескінченної кількості речей, бо у такому наборі кількість буде невизначеною.
Цей парадокс може бути вирішений за допомогою теорії множин і концепції дійсних чисел, які з'явилися лише у 19 столітті, але у часи Зенона поняття про зліченні та незліченні множини не існувало.
2. Парадокс нескінченного розміру: будь-який об'єкт містить частину його попереду і позаду. Кожна з цих частин має розмір і товщину. Кожна з цих частин так само можна розділити на частини, які також будуть мати розмір і товщину. Таким чином, повторивши таку ментальну операцію нескінченну кількість разів, ми отримаємо нескінченну кількість частин, кожна з яких має розмір. Але тіло складається з суми всіх цих частин, а отже воно має нескінченно великий розмір[3].
Цей парадокс можна трактувати двома способами. Якщо частини, про які йдеться, це половина, чверть, одна восьма і т. д. тіла, то парадокс вирішується тим що сума нескінченного ряду 1/2 + 1/4 + 1/8 + … збігається до одиниці. Проте ознаки збіжності рядів були встановлені лише у 19 столітті Огюстеном Коші[3].
Якщо ж кожна частина ділиться (тобто тіло розглядається як дві половинки, чотири чверті, вісім восьмих і далі до нескінченності), то в результаті буде отримана нескінченна кількість однакових частин. Якщо такі частини мали б розмір, то їх сума дійсно була б нескінченною. Проте, в такій побудові виникає багато додаткових факторів, які треба врахувати:
- Уявімо що після першого поділу ми взяли задню частину тіла, передню частину цієї частини, потім передню частину передньої частини й так до нескінченності (якщо тіло — відрізок [0, 1], то йдеться про послідовність [0, 1/2], [1/4, 1/2], [3/8, 1/2], …..). Ця послідовність буде збігатися до однієї точки, яка знаходиться рівно посередині тіла. Але якщо ми візьмемо передню половину тіла, задню частину від неї, задню частину задньої частини й далі до нескінченності ([1/2, 1], [1/2, 3/4], [1/2, 5/8], …..) — цей ряд так само зійдеться до точки в центрі тіла. Тобто, деякі частини тепер перетинаються. З іншого боку, якщо при поділі не включати, наприклад, правий кінець відрізку у «частину», але в такому випадку ряд [0, 1/2), [1/4, 1/2), [3/8, 1/2)…. зійдеться до порожньої множини, тобто, не буде містити жодної точки. В будь-якому випадку, будь-який ланцюжок сходиться або до порожньої множини або до рівно однієї точки. Проте точка не має розміру. При цьому виникає інша проблема, як сумуючи елементи нульового розміру отримати ненульову суму — адже 0+0+0+… = 0, а отже всі тіла не мають розміру взагалі (схожа проблема була описана Арістотелем, проте ймовірно вона також походить від Зенона)?
- При поділі N разів утворюється 2N частин. Але згідно з теоремою Кантора, якщо N — зліченна нескінченність, то 2N є більшою за N, відповідно кількість частин які утворяться після нескінченної (але зліченної) кількості поділів буде незліченною. Таким чином, їх суму неможливо порахувати як суму ряду (оскільки ряд містить зліченну кількість елементів). З цієї причини, якщо ми будемо вважати що найменші частини не мають розміру, ми не можемо припустити що їх сума 0+0+0+…=0[3].
- Довжина відрізка взагалі не залежить від кількості точок у ньому — відрізки будь-якої довжини, в тому числі нескінченні містять однакову кількість точок, тому логіка складання цілого з суми тут перестає діяти взагалі[3].
3. Ахіллес і черепаха — Ахіллес не може наздогнати черепаху, бо як тільки він добігає до того місця де була черепаха, вона встигає втекти трохи вперед. Загалом логіка цього парадоксу також зводиться до суми нескінченного ряду як і попереднього. Важливим доповненням є те, що у ньому явно присутній ще один елемент: момент коли Ахіллес таки наздогнав черепаху, який має слідувати за всіма «проміжними» етапами. Тобто, це ряд
- 1/2, 1/4, 1/8, …, A.
У часи Зенона такі конструкції викликали багато заперечень, адже за визначенням нескінченний ряд не має кінця — як тоді щось може відбуватися після нього. Лише в кінці 19 століття Кантором було визначення поняття трансфінітного числа, яке дозволяє такі операції[3].
4. Дихотомія: щоб пройти якусь відстань, треба пройти її половину, щоб пройти половину треба пройти її чверть і так далі. Отже щоб пройти будь-яку відстань треба виконати нескінченне число дій, а отже рух неможливий. Математично цей парадокс еквівалентний попередньому. Важливий крок для розуміння їх зробив Арістотель, звернувши увагу на те, що час який потрібен для подолання все менших відстаней також зменшується (цей хід думок здається очевидним, але для давніх греків математичне розуміння руху як відношення пройденої відстані до часу для греків не було тривіальним)[3].
5. Стріла: нехай стріла пролітає деяку відстань впродовж деякого часу. Розділимо час її польоту на такі відрізки, що їх неможливо поділити сильніше. Протягом кожного такого відрізка стріла нерухома (якби вона рухалася хоч на нескінченно малу відстань, у такого відрізка часу був би початок і кінець, і його можна було б розділити ще). Отже, вона є нерухомою впродовж усього польоту.
В принципі, цей парадокс не є проблемою як такий — можна прийняти, що стріла дійсно є нерухомою в кожен момент польоту, і «перестрибує» з одного положення в інше — але тоді не є зрозумілим, що саме відрізняє об'єкти що рухаються від нерухомих: якщо стріла пролітає повз стрілу що лежить на землі, що змушує лише одну стрілу в наступний момент змінювати положення, якщо обидві вони «в моменті» нерухомі. У середні віки ця різниця пояснювалася імпетусом, деякою внутрішньою властивістю тіла, проте природа імпетуса не була зрозумілою[4]. Спеціальна теорія відносності, що з'явилася у 20 столітті, дає краще розуміння цієї різниці — наприклад, тіло що рухається буде мати лоренцеве скорочення, яке буде існувати в кожен момент часу[5].
Загалом зенонівські парадокси про рух викликали багато суперечок, адже дуже спокусливо було спростовувати їх простою демонстрацією руху (за легендою, саме це зробив Діоген під час дискусії), проте це не є насправді розв'язанням парадоксу — адже, якщо він призводить до неправильних висновків, це означає що у ланцюжку роздумів має бути помилка і її можна вказати, а не лише продемонструвати помилковість висновків[3].
Таким чином, можна бачити що тільки через дві тисячі років після Зенона з'явилися математичні інструменти, які дозволяли вирішити його парадокси.
Арістотель у спробі розв'язати зенонові парадокси розробив теорію потенційної і актуальної нескінченності. Він постулював, що говорячи про нескінченність, ми зазвичай маємо на увазі що якусь величину можна нарощувати до нескінченності, тобто, яким би не було значення, завжди є наступне за ним. Така величина називається потенційно нескінченною. Наприклад, другий постулат Евкліда говорить не про нескінченність довжини прямої лінії, а лише те, що «пряму можна безперервно продовжувати»[6].
З іншого боку, актуальна нескінченність — виникала б якби якась величина існувала у всій нескінченній повноті. Сам Арістотель і більшість античних філософів та математиків визнавали, як правило, тільки потенційну нескінченність, рішуче відкидаючи можливість оперувати з актуально нескінченними атрибутами[7]. Наприклад, при лічбі ми не маємо обмежень, і за будь-яким числом лежить більше, проте рахуючи, ми ніколи не дійдемо до «числа нескінченність».
Арістотель писав:
… Завжди можна вигадати більше число, тому що кількість частин, на які можна розділити відрізок, не має меж. Тому нескінченність потенціальна, ніколи не дійсна; яке б число поділів не задали, завжди потенційно можна поділити на більше число.[8]
Відповідно до цієї доктрини формулювалися наукові твердження. Наприклад, теорема про нескінченність множини простих чисел в античних математиків формулювалася так: «Яке б не було просте число P, існує просте число, більше, ніж P».
Арістотель окремо розглядає нескінченно великі речі («більші за Всесвіт») і нескінченно малі, як от відрізки що отримуються після нескінченної кількості поділів. У випадку нескінченних поділів ця аргументація викликає більше питань, адже розділивши відрізок на рід 1/2+1/4+1/8 +… , усі ці відрізки вже існують в цілому відрізку. Для підтримки своєї теорії для таких типів нескінченності Арістотель стверджував, що не можна говорити про нескінченно малі частини, які виникають в парадоксах Зенона, оскільки для цього потрібно було б «фіксувати» кожен поділ (наприклад, в парадоксі Дихотомія атлет мав би зупинятися після половини, чверті, однієї восьмої і т. д. шляху або робити якісь помітки по дорозі). Таким чином, він не визнавав, що «цілий» шлях і шлях, поділений, хай і лише ментально, на деякі відрізки є одним і тим самим шляхом[3][9].
За Арістотелем, подібні погляди, що отримали назву фінітизм, були розповсюдженими і в середньовіччі, аж до 19 століття. На користь фінітизму висловлювалися Тома Аквінський, Томас Гоббс, Джон Лок, Гаусс[10].
У середньовіччі поняття про нескінченність було тісно пов'язане з Богом. З одного боку, неможливість нескінченності була фундаментом доказу існування Бога. Найбільш відомими є зібрані Томою Аквінським: кожен рух викликаний якимось поштовхом, іншим рухом, кожна подія має свою причину. Оскільки цей ланцюжок не може бути нескінченним, повинен існувати якийсь першорушій, якась першопричина яка не має причини, і ця причина — Бог. Також, кожна якість не може наростати нескінченно, і повинна існувати сутність, яка найбільш ідеальна в усіх відношеннях. Ця сутність, знов таки, Бог.
З іншого боку, атрибути самого Бога вважалися нескінченними: він вічний, всесильний, всевідаючий, тощо[11]. Багато парадоксів випливало з таких визначень, наприклад, класичний парадокс всемогутності: чи може Бог створити камінь, який він не зможе підняти?
Спіноза розробив власну класифікацію нескінченностей[12][13]:
- Речі, нескінченні за своєю природою, які не можуть бути помислені як скінченні. Єдиним прикладом справжньої існуючої нескінченності він вважав Бога, за його термінологію Субстанцію, чим наслідував схоластичну традицію. Проте на відміну від середньовічних теологів він вважав що Бог є нашим Всесвітом — а отже що Всесвіт також є актуально нескінченним. Вічними (але не існуючими по справжньому) об'єктами він вважав математичні істини.
- Атрибути Бога, такі як Вічність, Протяжність або Мислення. Спіноза наголошував, що Вічність не складається з часових проміжків, так само як Протяжність не складається з просторових. За його словами, спроба помислити Вічність як набір частин а не як щось ціле є такою само неправильною як спроба намалювати квадрат з великої кількості кіл.
- Ментальні конструкти, які можна осягнути інтелектом, а не уявою, до яких він відносив математичні конструкти, такі як числа.
Готфрід Лейбніц був одним з творців математичного аналізу, і створив інструменти, за допомогою яких можна було працювати з нескінченно малими величинами. Математичний успіх підштовхнув його до спроб застосувати нескінченність і в філософії.
У своєму трактаті 18 століття Монадологія розвинув філософське вчення про монади, з яких, за його думкою, складався світ. За Лейбніцом, існує нескінченно багато монад. Важливо, що на відміну від багатьох своїх сучасників, Лейбніц стверджував саме акутальну нескінченність — тобто, він вважає що весь цей нескінченний масив монад вже існує. Також, він вважав що кожна монада містить у собі інформацію про весь Всесвіт. Також, він вважав що монади не взаємодіють між собою, а їх стан відображає Всесвіт тому що вони синхронізовані у деякому сенсі — як два годинники показують один і той же час, навіть якщо вони ніяк не впливають один на одного. Єдина монада, яка дійсно знає про всі інші монади — Бог. Нескінченний розум Бога містить в собі нескінченно багато можливих світів — з яких реалізується лише один, найкращий (той в якому ми живемо). Також, він вважав що простір є нескінченно подільним, і кожен атом є нескінченним світом для дрібніших створінь[14].
У філософії інтенсивно дискутувалися два питання, пов'язані з нескінченністю: питання про скінченність чи нескінченність всесвіту в просторі та часі та питання про можливість нескінченного поділу. Актуальність цих філософських питань дещо зменшилася зі становленням сучасних природознавчих теорій: фізичної космології та атомістики.
В сучасній фізичній космології домінує теорія Великого вибуху, за якою Всесвіт, у тій формі, в якій ми можемо його собі уявити, зародився приблизно 13,8 млрд років тому. Питання про те, що передувало, і чи щось взагалі передувало, Великому вибуху, залишається нерозв'язним. Залишається нез'ясованою доля Всесвіту в далекому майбутньому — обмеженням тут є недостатність даних про його фізичні параметри.
За сучасними уявленнями природознавства про форму Всесвіту він є замкненим, тобто має скінченний об'єм, хоча й необмежений. Космологічний параметр густини, який визначає форму Всесвіту дещо більший від одиниці. Просторових границь Всесвіту фізична космологія не встановлює, але водночас існують межі віддаленості небесних тіл, які людина може спостерігати, пов'язані зі скінченністю швидкості світла та віком Всесвіту.
Питання про нескінченну подільність речовини вирішилося на користь існування атомів — найменших її частинок. Атоми теж мають складну будову, але на субатомному рівні мова вже не йде про ту ж речовину.
Фізичні теорії оперують з абстракціями, які пов'язані з поняттям нескінченності. Наприклад, фізики часто розглядають нескінченне суцільне середовище, в якому розповсюджуються монохроматичні плоскі хвилі. Хоча експериментальних можливостей відтворити таке середовище й таку хвилю немає, ці абстракції виявилися плідними в розумінні фізичних процесів.
Нескінченність в математиці
[ред. | ред. код]У математиці не існує одного поняття нескінченності, вона наділяється особливими властивостями в кожному розділі. Більш того, ці різні «нескінченності» не є взаємозамінними. Наприклад, теорія множин розглядає різні нескінченності, причому одна може бути більшою за іншу. Скажімо, кількість цілих чисел нескінченно велика (вона називається зліченною). Щоб узагальнити поняття кількості елементів для нескінченних множин, в математиці вводиться поняття потужності множини. При цьому не існує однієї «нескінченної» потужності. Наприклад, потужність множини дійсних чисел більша за потужність множини цілих чисел, тому що між цими множинами не можна побудувати взаємно-однозначну відповідність (бієкцію), а цілі числа включені в дійсні. Таким чином, в цьому випадку «кількість елементів» (потужність) однієї множини більш «нескінченна», ніж «кількість елементів» (потужність) іншої. Основоположником цих понять був німецький математик Георг Кантор.
У математичному аналізі до множини дійсних чисел додаються два невласні числа, які позначаються символами і і застосовуються для визначення граничних значень і збіжності. В цьому випадку мова про «прийнятну» нескінченність не йде, тому що будь-яке твердження, що містить цей символ, можна записати, використовуючи тільки скінченні числа і квантори. Ці символи, як і багато інших, були введені для скорочення запису довших виразів.
Леопольд Кронекер скептично ставився до поняття нескінченності й до того, як його колеги математики використовували його в 1870-х і 1880-х роках. Цей скептицизм був розроблений у філософії математики названій фінітизмом, крайній формі філософської та математичної школи конструктивізму і інтуїціонізму.[15]
Точне походження символу нескінченності невідоме.
Найімовірніше пояснення полягає в тому, що символ нескінченності походить від форми стрічки Мебіуса. Знову ж, можна уявити нескінченну подорож по її поверхні.
Введення символу нескінченності часто приписують Джону Валлісу в 1655 в його творі «Про конічні перетини»[16]. Одна з думок про те, чому він вибрав цей символ є те, що він походить з римського запису числа 1000 який походив від етруського запису числа 1000, який мав вигляд на зразок цього CIƆ і його інколи використовували для позначення поняття «багато». Іншою думкою є те, що він походить від грецької літери ω омега, останньої літери в грецькому алфавіті. До того ж оскільки уся верстка проводилась вручну, легко версталася як 8 повернута на 90°.
В Юнікоді нескінченність позначена символом ∞ (U+221E).
Одним з найдавніших символів нескінченності, що зустрічається в різних культурах, є змій Уроборос, якого іноді зображають таким, що згортається у вигляді повернутої вісімки.
Перспективне мистецтво використовує концепцію точок сходу, які приблизно відповідають математичним точкам на нескінченності, розташованим на нескінченній відстані від спостерігача. Це дозволяє художникам створювати картини, які реалістично передають простір, відстані та форми.[17] Художник М. К. Ешер особливо відомий тим, що використовує концепцію нескінченності у своїх роботах таким та іншими способами.[18]
Варіанти шахів, що граються на необмеженій дошці, називаються нескінченними шахами.[17][18]
Когнітивний вчений Джордж Лакофф розглядає поняття нескінченності в математиці та природничих науках як метафору. Ця точка зору ґрунтується на базовій метафорі нескінченності (БМН), яка визначається як постійно зростаюча послідовність <1, 2, 3, …>.[17]
- ↑ Infinity(англ.)
- ↑ A (very) brief history of infinity (англ.)
- ↑ а б в г д е ж и к Zeno's Paradoxes(англ.)
- ↑ ARE THERE REALLY INSTANTANEOUS VELOCITIES?(англ.)
- ↑ Zenoís Paradoxes: A Timely Solution(англ.)
- ↑ Huemer, 2016, с. 49.
- ↑ Аристотель про нескінченність
- ↑ Фізика III, 6.
- ↑ Huemer, 2016, с. 53.
- ↑ Huemer, 2016, с. 51.
- ↑ FAITH AND REASON: CHARTING THE MEDIEVAL CONCEPT OF THE INFINITE(англ.)
- ↑ Spinoza's Infinities, Mathematical, Logical, and Metaphysical(англ.)
- ↑ A Cardinal Sin: The Infinite in Spinoza's Philosophy(англ.)
- ↑ Infinity and Life: The Role of Infinity in Leibniz's Theory of Living Beings
- ↑ Kline, Morris (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York: Oxford University Press. с. 1197—1198. ISBN 0195061357.
- ↑ De sectionibus conicis
- ↑ а б в Morris Kline (1985). Mathematics for the Nonmathematician (вид. illustrated, unabridged, reprinted). Courier Corporation. с. 229. ISBN 978-0-486-24823-3. Extract of page 229, Section 10-7
- ↑ а б Schattschneider, Doris (2010). The Mathematical Side of M. C. Escher (PDF). Notices of the AMS. 57 (6): 706—718.
- В. Кизима. Конечне і безконечне // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін ; Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України. — Київ : Абрис, 2002. — 742 с. — 1000 екз. — ББК 87я2. — ISBN 966-531-128-X.
- — вірш Інокентія Анненського. Український переклад: Володимир Денисенко "Математичний світ поетів",Черкаси, видавець Чабаненко Ю.А., 2010, с.51 — ISBN 978-966-493-366-7.
Michael Huemer. Approaching Infinity. — New York : Palgrave Macmillan, 2016. — 275 с. — ISBN 978-1-137-56086-5.
| Базові концепції |  | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Вимірювання та еталони[en] | |||||||||||||||||
| Час у |
| ||||||||||||||||
| Філософія часу[en] | |||||||||||||||||
| Див. також | |||||||||||||||||
 | |
|---|---|
| Тематичні сайти | |
| Словники та енциклопедії | |
| Довідкові видання | |
| Нормативний контроль |
|
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |
|
Це незавершена стаття з філософії. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |