Нечітка множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Нечітка множина — поняття, введене Лотфі Заде в 1965 році в статті «Fuzzy Sets» в журналі Information and Control[en], в якому він розширив класичне поняття множини, допустивши, що характеристична функція множини (названа Заде функцією приналежності для нечіткої множини) може набувати будь-яких значень в інтервалі [0,1], а не тільки значень 0 або 1. Є базовим поняттям нечіткої логіки.

Визначення[ред. | ред. код]

Нехай  — множина (класична). Нечітка множина задається своєю функцією приналежності:


Порожня множина , універсальна множина .

Якщо набуває значень , то множина  — це класична підмножина, , в іншому випадку множина є нечіткою. Можна казати, що  — це ступінь належності елемента до множини .

Носій нечіткої множини  — це

Множина рівня , де — це

Тоді

Якщо , то зв'язні нечіткі множини називають нечіткими числами[en].

Оскільки інтервали можна розглядати як нечіткі числа, то арифметика нечітких чисел є узагальненням інтервальної арифметики.

Операції над нечіткими множинами[ред. | ред. код]

Домінування (Вміщення)[ред. | ред. код]

Нехай і  — нечіткі множини на універсальній множині .

Говорять, що міститься в , якщо .

Позначення: .

Інколи використовують термін «домінування», тобто у випадку, якщо , говорять, що домінує .

Рівність[ред. | ред. код]

і рівні, якщо .

Позначення: .

Доповнення[ред. | ред. код]

Нехай µ = [0, 1], і — нечіткі множини, задані на . і доповнюють один одного, якщо

.

Доповнення нечіткої множини А позначається символом .

Операція доповнення відповідає логічному запереченню.

Перетин[ред. | ред. код]

Перетин і позначається і визначається

.

Перетин відповідає логічній зв'язці «і».  — найменша нечітка підмножина, яка міститься одночасно в і

Об'єднання[ред. | ред. код]

Об'єднання нечітких множин А і В (А + В)

Об'єднання відповідає логічній зв'язці «або».

А ∪ В — найбільша нечітка підмножина, яка включає як А, так і В, з функцією приналежності:

µA ∪ B(x)= max(µA(x), µ B(x)).

Диз'юнктивна сума[ред. | ред. код]

А⊕B = (А — B) ∪ (B — А) = (А ∩) ∪ ∩ B) з функцією приналежності:

µA — B(x) = max {[min {µA(x), 1 — µB(x)}];

[min {1 — µA(x), µB(x)}] }

Добуток А і В позначається АВ і визначається[ред. | ред. код]

Піднесення до степеня[ред. | ред. код]

Концентрація (частковий випадок піднесення до степеня):[ред. | ред. код]

Розтягування (розмивання):[ред. | ред. код]

Чітке відображення[ред. | ред. код]

Нехай X і Y — дві заданих універсальних множини. Говорять, що наявна функція, визначена на X зі значенням у Y, якщо, у силу деякого закону f, кожному елементу відповідає елемент .

Коли функцію f : називають відображенням, значення , якого вона набуває на елементі , звичайно називають образом елемента x.

Образом множини при відображенні називають множину тих елементів Y, що є образами елементів множини А.

Дане класичне визначення відображення, яке у теорії нечітких множин називають чітким відображенням.

Нечітке відображення[ред. | ред. код]

Нечітке відображення— це відображення[en] виду:


Нечіткі відображення задаються функціями приналежності образів нечітких множин.

Тобто, якщо  — функція належності множини та нехай


Тоді функція належності множини B задається у вигляді:

Або:

Джерела[ред. | ред. код]

  • О. Ф. Волошин, С. О. Мащенко (2011). Моделі та методи прийняття рішень. Київ. 
  • В. Я. Півкін, Є. П. Бакулін, Д. І. Кореньков; (2001). Нечіткі множини в системах управління: навч. посібник [Електронний ресурс].