Нормальна матриця

Квадратна матриця $\ A$ з комплексними елементами називається нормальною, якщо вона є переставною зі своєю спряженою матрицею:

$\ A^{*}A=AA^{*}.$

Розклад матриці за допомогою власних векторів

Матриця $\ A$ є нормальною тоді і тільки тоді, коли існує унітарна матриця $\ U$ та діагональна матриця $\Lambda \!$, що виконується:

$\ A=U\Lambda U^{*}.$

Ця формула називається розкладом матриці за її власними векторами, тому що для матриць $U\!$ та $\Lambda \!$ справедливі такі властивості:

• $\ {\Lambda }=diag(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )$ — елементи на головній діагоналі є власними значеннями матриці $A.\!$
• Стовпці матриці $U\!$ є власними векторами матриці $A,\!$ розташовані відповідно до своїх власних значень.

Властивості

• Якщо $A$ — нормальна матриця, то в матриць $A,A^{*}$ власні вектори будуть однаковими, а власні значення — комплексно-спряженими:

$A=U\Lambda U^{*}\quad \Rightarrow \quad A^{*}=U\Lambda ^{*}U^{*}.$

• Для довільної квадратної матриці $A$ існує полярний розклад $A=PU$.

Матриця $A$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли $P,U$ будуть переставними:

$A^{*}A=AA^{*}\;\iff \;PU=UP.$

• Довільну квадратну матрицю $A$ можна представити через дві ермітові матриці $A=H_{1}+iH_{2}$.

Матриця $A$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці $H_{1},H_{2}$ будуть переставними:

$A^{*}A=AA^{*}\;\iff \;H_{1}H_{2}=H_{2}H_{1}.$

• Нормальні матриці $A,B$ є переставними тоді і тільки тоді, коли всі їх власні вектори є спільними:

$AB=BA\quad \iff \quad \exists \;U,\Lambda _{1},\Lambda _{2}:\quad A=U\Lambda _{1}U^{*},\quad B=U\Lambda _{2}U^{*}.$

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних нормальних матриць.

• Наслідок з попередньої властивості: якщо матриці $A,B$ є нормальними та переставними, тоді матриці:

$\ AB,A+B,kA$ — теж будуть нормальними та переставними.

Часткові випадки

Всі комплексні унітарні, ермітові косоермітові матриці є нормальними матрицями. Також всі дійсні ортогональні, симетричні кососиметричні матриці є нормальними матрицями.

Зв'язок з комплексними числами

Якщо вважати нормальні матриці узагальненням комплексних чисел, то в такому випадку:

• унітарні матриці є аналогом комплексних чисел рівних по модулю одиниці,
• ермітові матриці є аналогом дійсних чисел,
  • додатноозначені матриці є аналогом додатних чисел,
• антиермітові матриці — аналогом чисто уявних чисел.

Приклади

Матриця $A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}$ є нормальною, оскільки $AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A.$

Але вона не є ні унітарною, ні ермітовою, ні косо-ермітовою.

Якщо матриця є трикутною і нормальною, тоді вона — діагональна.

Див. також

• Теорія матриць
• Комутатор (математика)

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
• Ланкастер П.. Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
• Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)