Нормальна матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадратна матриця з комплексними елементами називається нормальною, якщо вона є переставною зі своєю спряженою матрицею:

Розклад матриці за допомогою власних векторів[ред.ред. код]

Матриця є нормальною тоді і тільки тоді, коли існує унітарна матриця та діагональна матриця , що виконується:

Ця формула називається розкладом матриці за її власними векторами, тому що для матриць та справедливі такі властивості:

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо — нормальна матриця, то в матриць власні вектори будуть однаковими, а власні значеннякомплексно-спряженими:
  • Для довільної квадратної матриці існує полярний розклад .
Матриця буде нормальною тоді і тільки тоді, коли будуть переставними:
  • Довільну квадратну матрицю можна представити через дві ермітові матриці .
Матриця буде нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці будуть переставними:
  • Нормальні матриці є переставними тоді і тільки тоді, коли всі їх власні вектори є спільними:
ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних нормальних матриць.
  • Наслідок з попередньої властивості: якщо матриці є нормальними та переставними, тоді матриці:
— теж будуть нормальними та переставними.

Часткові випадки[ред.ред. код]

Всі комплексні унітарні, ермітові косоермітові матриці є нормальними матрицями. Також всі дійсні ортогональні, симетричні кососиметричні матриці є нормальними матрицями.

Зв'язок з комплексними числами[ред.ред. код]

Якщо вважати нормальні матриці узагальненням комлексних чисел, то в такому випадку:

Приклади[ред.ред. код]

Матриця є нормальною, оскільки

Але вона не є ні унітарною, ні ермітовою, ні косо-ермітовою.

Якщо матриця є трикутною і нормальною, тоді вона — діагональна.

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]