Нормальна підгрупа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це особлива підгрупа, в яких лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати факторгрупу по заданій групі.

Визначення[ред.ред. код]

Підгрупа групи називається нормальною, якщо вона інваріантна щодо спряження, тобто:

Наступні умови нормальності підгрупи є еквівалентними:

  1. Множини лівих і правих суміжних класів в збігаються.
  2. .

Умова (1) слабша, чим (2), а умова (3) слабша, ніж (4). Тому умови (1) та (3) часто використовують при доведенні нормальності підгрупи.

Приклади[ред.ред. код]

  • та  — завжди нормальні підгрупи . Вони називаються тривіальними. Якщо інших нормальних підгруп немає, то група називається простою.
  • Всі підгрупи абелевої групи нормальні, тому що . Неабелева група, в якої всі підгрупи нормальні називається гамільтоновою.

Властивості[ред.ред. код]

  • Нормальність зберігається при епіморфізмах (сюр'єктивних гомоморфізмах) і взятті обернених образів.
  • Нормальність зберігається при побудові прямого добутку.
  • Нормальна підгрупа нормальної підгрупи не обов'язково є нормальною в групі, тобто нормальність не транзитивна. Але характеристична підгрупа нормальної підгрупи є нормальною.
  • Кожна підгрупа індекса 2 є нормальною. Якщо  — найменший простий дільник порядка , то довільна підгрупа індекса нормальна.
  • Якщо  — нормальна підгрупа в , то на множині лівих (правих) суміжних класів можна ввести групову структуру по правилу
Отримана множина називається факторгрупою по .

Історичні факти[ред.ред. код]

Еварист Галуа перший зрозумів важливість нормальних підгруп.

Література[ред.ред. код]