Нормальна форма Чибраріо

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Нормальна форма Чибраріо — нормальна форма диференціального рівняння, нелінійного за похідною, в околі найпростішої особливої точки. Назву запропоновано В. І. Арнольдом, на честь італійського математика Марії Чибраріо, що встановила цю нормальну форму для одного класу рівнянь[1][2][3].

Нехай диференціальне рівняння має вигляд

где

Функція є дійсною, гладкою класу (або аналітичною) за сукупністю всіх трьох змінних. Особливі точки такого рівняння — це точки тривимірного простору з координатами , що лежать на поверхні, що задається рівнянням , в яких похідна дорівнює нулю, тобто проектування поверхні на площину змінних вздовж напрямку осі є нерегулярним. У загальному випадку множина особливих точок утворює на поверхні криву, що називають кримінантою. Проекція кримінанти на площину називається дискримінантною кривою, її точки теж часто називають особливими точками рівняння, хоча при цьому можлива неточність: при проектуванні різним точками поверхні може відповідати одна і та ж точка площині змінних [4].

Теорема про нормальну форму[ред. | ред. код]

Найпростішими особливими точками рівняння є так звані регулярні особливі точки, в яких проектування має особливість, яка називається складкою Вітні, і контактна площина не торкається поверхні Це рівнозначно виконанню в даній точці умов:

Теорема. В околі регулярної особливої точки рівняння з гладкою (або аналітичною) функцією гладко (відповідно, аналітично) еквівалентно рівнянню

що називають нормальною формою Чибраріо[4]

Приклади[ред. | ред. код]

Нормальна форма Чибраріо є характеристичним рівнянням для рівняння Трикомі

,

що відноситься до еліптичного типу в напівплощині і до гіперболічного — в напівплощині .

Рівняння легко інтегрується: графіки його розв'язків утворюють сімейство напівкубічних парабол[4]

які заповнюють напівплощину , каспи яких лежать на дискримінантній кривій — осі .

Примітки[ред. | ред. код]