Норма (теорія полів)

Но́рма — відображення елементів скінченного розширення L поля K в початкове поле K, що визначене таким чином:

Якщо L/K — скінченне розширення (воно буде алгебраїчним розширенням) степеня n=[L:K]; тоді довільний елемент a ∈ L визначає лінійне перетворення L:

$\ x\mapsto ax.$

Цьому перетворенню в деякому базисі e₁,e₂...e_n відповідає матриця A:

(αe₁, αe₂ ... αe_n)=(e₁,e₂...e_n)*A. Визначник цієї матриці називається нормою елементу α. Оскільки для іншого базису даному відображенню відповідатиме подібна матриця A'=CAC^-1 з тим же визначником det(A)=det(A'), то норма не залежить від вибраного базису. Вона позначається $N_{L/K}(a).$

Властивості норми

• $\ N_{L/K}(a)=0\iff a=0$
• $\ N_{L/K}(a)=a^{[L:K]},\quad \forall a\in K$
• $N_{L/K}(ab)=N_{L/K}(a)\cdot N_{L/K}(b),\quad \forall a,b\in L$, зокрема є гомоморфізмом групи ненульових елементів поля L^× в групу K^×

$\ N_{L/K}\colon L^{\times }\to K^{\times }.$

• Для полів M/L/K маємо:

$\ N_{M/K}(a)=N_{L/K}(N_{M/L}(a))$ (транзитивність норми)

• Якщо L=K(α) і f(x)=xⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ — мінімальний многочлен, для α то $N_{L/K}(a)=(-1)^{n}a_{0}$. Тобто, якщо $\alpha =\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ — всі корені цього многочлена, то $N_{L/K}(a)=(-1)^{n}\alpha _{1}\cdot \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \alpha _{n}.$

Вираз норми через гомоморфізми L над K

Нехай σ₁,σ₂...σ_m — всі гомоморфізми L в алгебраїчне замикання поля K, що залишають нерухомими всі елементи K. Якщо L є сепарабельним то m рівне степеню [L:К]=n . Тоді для норми існує наступний вираз:

$N_{L/K}(a)=\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (a).$

Якщо L є несепарабельним тобто m≠n — степені [L:K], в цьому випадку n кратно m, причому частка є деяким степенем характеристики p.

Тоді

$N_{L/K}(a)=\left(\,\prod _{i=1}^{m}\sigma _{i}(a)\right)^{\frac {n}{m}}$

Приклад

• Нехай $\mathbb {R}$ — поле дійсних чисел, $\mathbb {C}$ — поле комплексних чисел, що розглядається як розширення $\mathbb {R}$. Тоді норма елементу a+bi буде рівна a²+b²
• Норма елементів розширення поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$ задається так:

$a+b{\sqrt {2}}\mapsto a^{2}-2b^{2}$ für $a,b\in \mathbb {Q}$.

• Норма елементів розширення поля $\mathbb {F} _{q^{n}}/\mathbb {F} _{q}$ задається так:

$x\mapsto x^{1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}}.$

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Вейль А. Основы теории чисел = Basic number theory. — Москва : Мир, 1972. — 408 с.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)