Норма (теорія полів)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Но́рма — відображення елементів скінченного розширення L поля K в початкове поле K, що визначене таким чином:

Якщо L/Kскінченне розширення (воно буде алгебраїчним розширенням) степеня n=[L:K]; тоді довільний елемент aL визначає лінійне перетворення L:

Цьому перетворенню в деякому базисі e1,e2...en відповідає матриця A:

(αe1, αe2 ... αen)=(e1,e2...en)*A. Визначник цієї матриці називається нормою елементу α. Оскільки для іншого базису даному відображенню відповідатиме подібна матриця A'=CAC-1 з тим же визначником det(A)=det(A'), то норма не залежить від вибраного базису. Вона позначається

Властивості норми[ред.ред. код]

  • , зокрема є гомоморфізмом групи ненульових елементів поля L× в групу K×
  • Для полів M/L/K маємо:
(транзитивність норми)
  • Якщо L=K(α) і f(x)=xn+an-1xn-1+...+a1x+a0мінімальний многочлен, для α то . Тобто, якщо — всі корені цього многочлена, то

Вираз норми через гомоморфізми L над K[ред.ред. код]

Нехай σ12...σm — всі гомоморфізми L в алгебраїчне замикання поля K, що залишають нерухомими всі елементи K. Якщо L є сепарабельним то m рівне степеню [L:К]=n . Тоді для норми існує наступний вираз:

Якщо L є несепарабельним тобто m≠n — степені [L:K], в цьому випадку n кратно m, причому частка є деяким степенем характеристики p.

Тоді

Приклад[ред.ред. код]

  • Нехай — поле дійсних чисел, — поле комплексних чисел, що розглядається як розширення . Тоді норма елементу a+bi буде рівна a²+b²
  • Норма елементів розширення поля задається так:
für .
  • Норма елементів розширення поля задається так:

Література[ред.ред. код]