Нормування (алгебра)

В абстрактній алгебрі, а також алгебраїчній теорії чисел і алгебраїчній геометрії, нормування є певною мірою мультиплікативності. Поняття є узагальненням зокрема порядку кореня многочлена, порядку нуля чи полюса в комплексному аналізі і порядку подільності на просте число в арифметиці.

Визначення

Нормуванням комутативного кільця з одиницею $(A,+,\times )$ із значеннями в лінійно впорядкованій абелевій групі $(G,+,<)$ з приєднаним нескінченним елементом $\infty$ називається відображення $v:A\longrightarrow G\cup \{\infty \}$, що задовольняє таким вимогам:

• $\forall x\in A,\ v(x)=\infty \Longleftrightarrow x=0$ ;
• $\forall x,y\in A,\ v(xy)=v(x)+v(y)$ ;
• $v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y))$.

Приєднаний нескінченний елемент задовольняє умови $a<\infty$ і $a+\infty =\infty$ для всіх $a\in G$.

Якщо A є полем, то v є гомоморфізмом групи (A*, ×) в групу (G, +) і образ v(A*) є підгрупою групи G. Обмеживши розгляд лише цією підгрупою можна вважати v сюр'єкцією. Якщо A не є полем, то, образ v(A*) є моноїдом в групі G.

Якщо $G=\mathbb {Z}$ то нормування називається дискретним.

Пов'язані визначення

Нормування v і v' на кільці A називаються еквівалентними, якщо існує ізоморфізм впорядкованих моноїдів:

$\lambda :v(A^{*})\to v'(A^{*})$ для якого $v'=\lambda \circ v.$

Якщо розглядати нормування на полі K то множина елементів R, що визначена як $R=\{x\in K\ |\ v(x)\geqslant 0\}$ є підкільцем поля K і називається кільцем нормування v в полі K. Кільце нормування завжди є локальним кільцем. Підмножина M поля K, визначена як $m=\{x\in K\ |\ v(x)>0\}$ є максимальним ідеалом кільця R. Він називається ідеалом нормування v. Фактор-кільце $R/m$, що є полем, називається полем лишків нормування v.

Нехай в полі K задані нормування v і v' . Кільця цих нормувань, що розглядаються як підкільця поля K, тоді і тільки тоді збігаються, коли ці нормування еквівалентні. Таким чином, опис всіх (з точністю до еквівалентності) нормувань поля K зводиться до опису всіх таких підкілець, які можуть бути для цього поля кільцями нормування.

Приклади

• Нормування кільця, яке визначається формулою:

${\begin{array}{rrcl}v:&A&\longrightarrow &G\cup \{\infty \}\\&x&\longmapsto &{\begin{cases}\infty &\ x=0\\0&x\neq 0\end{cases}}\end{array}}$

називається невласним, або тривіальним нормуванням. Для скінченних полів це нормування є єдиним.

• Будь-яке кільце з неархімедовим абсолютним значенням може бути перетворено в нормоване кільце, якщо в моноїді значень перейти від мультиплікативного запису до адитивного і замінити впорядкованість на інверсну. Елемент 0 при цьому природно позначити символом $\infty$ . Зворотний перехід від кільця з нормуванням до кільця з неархімедовим абсолютним значенням також можливий.
• Якщо в кільці було задано неархімедове абсолютне значення, із значеннями в множині додатних дійсних чисел то нормування можна визначити формулою:

$\forall x\in A^{*},\ v(x)=\log |x|.$

• Нехай K є полем, K[X] — кільце многочленів з коефіцієнтами з поля K і a — елемент поля K. Порядок кореня многочлена в точці a визначає нормування:

${\begin{array}{rrcl}v_{a}:&K[X]&\longrightarrow &\mathbb {Z} \cup \{\infty \}\\&P&\longmapsto &\sup \left\{k\in \mathbb {N} \ |\ \exists R\in K[X],\ P(X)=(X-a)^{k}R(X)\right\}\end{array}}$

• Подібним чином можна визначити нормування і на множині K(X) раціональних функцій з коефіцієнтами з поля K :

${\begin{array}{rrcl}v_{a}:&K(X)&\longrightarrow &\mathbb {Z} \cup \{\infty \}\\&P/Q&\longmapsto &v(P)-v(Q)\end{array}}$

• Для простого числа p можна визначити p-адичне нормування:

${\begin{array}{rrcl}v_{p}:&\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {N} \cup \{\infty \}\\&n&\longmapsto &{\begin{cases}\infty &n=0\\\max\{k\in \mathbb {N} \ |\ \exists q\in \mathbb {Z} \quad p^{k}q=n\}&n\neq 0\end{cases}}\end{array}}$

Властивості

Якщо A є комутативним кільцем з одиницею на якому визначено нормування v, то :

• $v(1)=v(-1)=0$ ;
• $\forall x,y\in A,\ v(x-y)\geqslant \min(v(x),v(y))$ ;
• $\forall x,y\in A,\ v(x)\neq v(y)\Rightarrow v(x+y)=\min(v(x),v(y))$ ;
• A є областю цілісності;
• Нормування w в єдиний спосіб можна продовжити на поле часток кільця A :

$\forall p/q\in \mathrm {Frac} (A),\ w(p/q)=v(p)-v(q)$.

• Для будь-якої лінійно впорядкованої абелевої групи $(G,+,<)$ існує нормування деякого поля, група значень якого ізоморфна $G$.

Топологія нормування поля

Нехай $v:K\longrightarrow G\cup \{\infty \}$, нормування поля K і $V_{\gamma }=\{x\in K\ |\ v(x)>\gamma \}$, де $\gamma \in G$. Сукупність усіх $\gamma ,\;\gamma \in G$ утворює фундаментальну систему околів нуля топології поля K, що називається топологією визначеною нормуванням v. Ця топологія є гаусдорфовою і незв'язною. Топологія, індукована на кільці нормування R, як правило, відрізняється від топології локального кільця. Для нетривіального нормування поля K топологія нормування є локально компактною тоді і тільки тоді, коли нормування v є дискретним, кільце нормування повним, а поле лишків нормування v є скінченним; кільце R при цьому буде компактним.

Поповнення K' поля K щодо топології v є полем. Нормування v неперервно продовжується до нормування ${\bar {v}}:K\longrightarrow G\cup \{\infty \}$, і топологія поповнення K' збігається з топологією цього нормування. Кільце нормування ${\bar {v}}$ є поповненням кільця нормування $v$.

Нормування v і v' поля K називаються незалежними, якщо їх топології нормування є різними. Це еквівалентно тому, що їх кільця нормувань спільно породжують поле K.

Справедлива теорема апроксимації для нормування: нехай $v_{i}:K\longrightarrow G_{i}\cup \{\infty \},\;i=1,...,n$ — незалежні нормування, $a_{1},...,a_{n}\in K$ і $\gamma _{1},...,\gamma _{n}\in G,$ тоді знайдеться такий елемент $a\in K$, що $v_{i}(a_{i}-a)\geqslant \gamma _{i}$ для всіх i.

Продовження нормувань

Якщо v' — нормування поля L, а K — підполе L, то обмеження $v=v'|_{K}$ нормування v' на поле K є нормуванням поля K, а його група значень G — підгрупою групи G'. v' називається при цьому продовженням нормування v .

Навпаки, якщо v — нормування, a L — розширення поля K, то завжди існує нормування поля L, що продовжує v . Індекс $[G':G]$ підгрупи G в групі G' називається індексом розгалуження нормування v' щодо v і позначається $e(v'/v)$. Поле лишків $k_{v}$ нормування v ототожнюється з підполем поля лишків $k_{v}$, степінь розширення $[k_{v'}:k_{v'}]$ позначається $f(v'/v)$ і називається степенем лишків нормування v' щодо v . Продовження v' нормування v називається безпосереднім, якщо $e(v'/v)=f(v'/v)=l$. Нехай L — розширення поля K, а $\{v_{i}|i\in I\}$ — множина всіх продовжень нормування v на L. Якщо L — скінченне розширення поля K степеня n, то множина всіх продовжень v є скінченною, і

$\sum _{i\in I}e(v_{i}/v)=f(v_{i}/v)\leqslant n.$

В ряді випадків цю нерівність можна замінити на рівність, наприклад коли v є дискретним нормуванням і або K є повним, або L є сепарабельним над K. Якщо L — нормальне розширення K, то продовження v на L переводяться K-автоморфізмами L, зокрема якщо L — радикальне розширення K, то v має єдине продовження.

Див. також

• Абсолютне значення (алгебра)
• Кільце дискретного нормування
• Кільце нормування
• Локальне кільце

Посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Valuation, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Джерела

• Алгебраическая теория чисел. ред. Касселс Д., Фрёлих А. М.: Мир 1969
• Cohn, P. M. (1991), Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Chapman Hall/CRC Mathematics Series, т. 4, CRC Press, ISBN 9780412361906
• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.