Нотація Штейнгауза — Мозера

Нотація Штейнгауза — Мозера — математична нотація для позначення великих чисел. Це розширення Мозера для полігонної нотації Штейнгауза.

Визначення

означає nⁿ.

означає «n всередині n вкладених трикутників».

означає «n всередині n вкладених квадратів».

Й так далі: n всередині (m + 1)-кутного полігона дорівнює "n всередині n вкладених m-кутних полігонів".

Зрозуміло, що вкладені полігони обчислюються починаючи із внутрішнього, наприклад, n в двох трикутниках дорівнює nⁿ в одному трикутнику, що дорівнює nⁿ в степені nⁿ.

Нотація Штейнгауза закінчувалась на пятикутнику, який він позначав колом: .

Часткові випадки

Штейнгауз та Мозер дали назви числам:

• мега — 2 в колі: ②
• мегістон — 10 в колі: ⑩
• мозер — «2 в мегагоні». Мегагон — полігон із ② сторін.

Рекурсивні формули

Нехай $M(n,m,p)$ — число n в m вкладених p-кутниках, тоді:

$M(n,1,3)=n^{n}$

$M(n,1,p+1)=M(n,n,p)$

$M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)$

mega = $M(2,1,5)$

megiston = $M(10,1,5)$

moser = $M(2,1,M(2,1,5))$

Mega

Мега є досить великим числом: ② = M(2,1,5) = M(2,2,4) = M(256,256,3)

Побудуємо:

• M(256,2,3) = $(256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}$
• M(256,3,3) = $(256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}$≈$256^{\,\!256^{256^{257}}}$

далі:

• M(256,4,3) ≈ ${\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}$
• M(256,5,3) ≈ ${\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$
• M(256,6,3) ≈ ${\,\!256^{256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$

Отримаємо:

• mega = $M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257$, де $(256\uparrow )^{256}$ кількість суперпозицій функції $f(n)=256^{n}$.

Округлюючи, отримаємо mega ≈ $256\uparrow \uparrow 257$ в нотація Кнута.

Для оцінки кількості цифр в числі можна використати:

$10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258$

Moser

Доведено, що в нотації Конвея та нотації Кнута,

$\mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,$

$\mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),\quad f(n)=3\uparrow ^{n}3.$

Хоча, moser — дуже велике число, воно дуже менше числа Грема:

$\mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{Graham's number}}.$

Див. також

• Функція Акермана

Джерела

• Robert Munafo's Large Numbers
• Factoid on Big Numbers
• Megistron at mathworld.wolfram.com (Steinhaus referred to this number as "megiston" with no "r".)
• Circle notation at mathworld.wolfram.com
• Steinhaus-Moser Notation - Pointless Large Number Stuff