Ніде не щільна множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В топології множина топологічного простору називається ніде не щільною тоді і тільки тоді, коли множина внутрішніх точок її замикання є порожньою:

.

Інакше кажучи множина не є щільною в жодному околі простору .

Лема[ред.ред. код]

Множина є ніде не щільною в тоді і тільки тоді, коли в кожній непустій відкритій множині можна знайти непусту відкриту множину , що не перетинається з (тобто ).

Властивості[ред.ред. код]

  • Сім'я всіх ніде не щільних множин простору утворюють ідеал підмножин , тобто
якщо , то ,
якщо і , то ,
.
  • Якщо і є ніде не щільною в ( , де топологія в успадкована від ), тоді .
  • Нехай і щільною підмножиною в . Тоді тоді і тільки тоді, коли .
  • Множина є ніде не замкнутою тоді і тільки тоді, коли її замикання є ніде не щільною множиною. Таким чином кожна ніде не щільна множина міститься в деякій замкнутій ніде не щільній множині.
  • Замкнута ніде не щільна множина є границею відкритої множини.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968