Ніде не щільна множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В топології множина A топологічного простору (X, \tau) називається ніде не щільною тоді і тільки тоді, коли множина внутрішніх точок її замикання є порожньою:

\operatorname{int}\;\operatorname{cl}\;A = \emptyset.

Інакше кажучи множина не є щільною в жодному околі простору X.

Лема[ред.ред. код]

Множина A\subseteq X є ніде не щільною в X тоді і тільки тоді, коли в кожній непустій відкритій множині U можна знайти непусту відкриту множину V, що не перетинається з A (тобто V\subseteq U\setminus A).

Властивості[ред.ред. код]

  • Сім'я {\rm NWD}(X) всіх ніде не щільних множин простору X утворюють ідеал підмножин X, тобто
якщо A,B\in {\rm NWD}(X), то A\cup B\in {\rm NWD}(X),
якщо A\in {\rm NWD}(X) і B\subseteq A, то B\in {\rm NWD}(X),
X\notin  {\rm NWD}(X).
  • Якщо A\subseteq Y\subseteq X і A є ніде не щільною в Y ( A\in {\rm NWD}(Y) де топологія в Y успадкована від X), тоді A\in {\rm NWD}(X).
  • Нехай A\subseteq Y\subseteq X і Y щільною підмножиною в X. Тоді A\in {\rm NWD}(X) тоді і тільки тоді коли A\in {\rm NWD}(Y).
  • Множина A є ніде не замкнутою тоді і тільки тоді, коли її замикання є ніде не щільною множиною. Таким чином кожна ніде не щільна множина міститься в деякій замкнутій ніде не щільній множині.
  • Замкнута ніде не щільна множина є границею відкритої множини.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968