Нільпотентна матриця

У лінійній алгебрі нільпотентною матрицею називається квадратна матриця N така що

$N^{k}=0\,$

для деякого додатного цілого числа k. Найменше таке k іноді називають порядком або індексом матриці N.

Нільпотентним лінійним перетворенням називається лінійне перетворення L лінійного простору таке що L^k = 0 для деякого цілого числа k (і відповідно, L^j = 0 для всіх j ≥ k). Обидва ці поняття є прикладами нільпотентних елементів кільця.

Приклади

Матриця

$M={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$

є нільпотентною, оскільки M² = 0. Більш загально, будь-яка трикутна матриця всі діагональні елементи якої рівні 0 є нільпотентною порядку $\leq n$. Наприклад, матриця

$N={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

є нільпотентною:

$N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.$

Матриця

$N={\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}$

є нільпотентною, оскільки її квадрат дорівнює нулю, хоча всі елементи матриці є ненульовими.

Класифікація

Матриця розмірності n × n і виду:

$S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.$

є нільпотентною порядку n.

Як частковий випадок жорданової нормальної форми кожна нільпотентна матриця N є подібною до блокової матриці виду:

${\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}$

де кожен з блоків S₁, S₂, ..., S_r є матрицею виду розглянутого вище.

Наприклад будь-яка ненульова нільпотентна матриця порядку 2 × 2 є подібною до матриці

${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.$

Дана теорема про класифікацію справедлива для довільного поля, не обов'язково алгебраїчно замкнутого.

Послідовність підпросторів

Нільпотентне перетворення L на просторі Rⁿ визначає послідовність підпросторів

$\{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathbb {R} ^{n}$

і послідовність цілих чисел

$0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.$

Дана послідовність чисел визначає L з точністю до оборотних лінійних перетворень. Окрім того справедливі нерівності:

$n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{for all }}j=1,\ldots ,q-1.$

Навпаки довільна послідовність натуральних чисел, що задовольняють цим послідовностям пов'язана з деяким нільнотентним перетворенням.

Властивості

Для квадратної матриці N порядку n × n з дійсними чи комплексними елементами, наступні твердження є еквівалентними:

• Матриця N є нільпотентною.
• Мінімальний многочлен матриці N рівний x^k для деякого натурального числа k ≤ n.
• Характеристичний многочлен матриці N рівний xⁿ.
• Всі власні значення матриці N дорівнюють 0.
• Слід матриць (N^k) = 0 для всіх k > 0.

Останнє твердження справедливе для всіх полів характеристики 0 або достатньо великої характеристики.

• Порядок нільпотентної матриці розмірності n × n завжди менший або рівний n.
• Визначник і слід нільпотентної матриці дорівнюють 0. Відповідно кожна нільпотентна матриця є виродженою.
• Єдиною нільпотентною діагоналізовною матрицею є нульова матриця.
• Якщо N — нільпотентна матриця, то матриця I + N є оборотною, де I є одиничною матрицею розмірності n × n. Обернена матриця задається рядом:$(I+N)^{-1}=I-N+N^{2}-N^{3}+\cdots .$

З нільпотентності N випливає, що лише скінченна кількість доданків у ряді є ненульовими.

• Якщо матриця N є нільпотентною то $\det(I+N)=1,\!\,$

Навпаки якщо A є матрицею і $\det(I+tA)=1\!\,$

для всіх t, то A є нільпотентною. Оскільки $p(t)=\det(I+tA)-1$ є многочленом степеня $n$, достатньо виконання рівності лише для $n+1$ різних значень $t$.

• Кожна вироджена матриця може бути записана як добуток нільпотентних матриць.
• Якщо A і B — дві комутуючі квадратні нільпотентні матриці однакової розмірності, то нільпотендним буде і їх добуток і всі лінійні комбінації.

Справді, якщо p є більшим з порядків нільпотентності матриць A і B то:

$(AB)^{p}=A^{p}B^{p}=0$

і, оскільки i або 2p – i є не меншим від p то:

$(\alpha A+\beta B)^{2p}=\sum _{i\in [0,2p]}C_{2p}^{i}\alpha ^{i}\beta ^{2p-i}A^{i}B^{2p-i}=0.$

Див. також

• Нільпотентний елемент
• Уніпотентна матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (вид. 2nd), New York: Wiley, LCCN 76091646
• Nilpotent matrix і nilpotent transformation on PlanetMath.