Обернені гіперболічні функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Обернені гіперболічні функції — визначаються як обернені функції до гіперболічних функцій. Ці функції визначають площу сектора одиничної гіперболи x2y2 = 1 аналогічно до того, як обернені тригонометричні функції визначають довжину дуги одиничного кола x2 + y2 = 1. Для цих функцій часто використовуються позначення arcsinh, arcsh, arccosh, arcch і т.д., хоча таке позначення є загалом помилковим, оскільки arc є скороченням від arcus — дуга, тоді як префікс ar означає area — площа. Тож правильними є позначення arsinh, arsh і т.д. і назви гіперболічний ареасинус, гіперболічний ареакосинус і т.д.

Визначення функцій[ред.ред. код]

Гіперболічний ареасинус для дійсного аргумента
Гіперболічний ареакосинус для дійсного аргумента
Гіперболічний ареатангенс для дійсного аргумента
Гіперболічний ареакотангенс для дійсного аргумента
Гіперболічний ареасеканс для дійсного аргумента
Гіперболічний ареакосеканс для дійсного аргумента

В комплексній площині функції можна визначити формулами:

  • Гіперболічний ареасинус
  • Гіперболічний ареакосинус
  • Гіперболічний ареатангенс
  • Гіперболічний ареакотангенс
  • Гіперболічний ареасеканс
  • Гіперболічний ареакосеканс

Квадратними коренями в цих формулах є головні значення квадратного кореня і логарифмічні функції є функціями комплексної змінної. Для дійсних аргументів можна здійснити деякі спрощення, наприклад , що не завжди вірно для головних значень квадратних коренів.

Розклад в ряди[ред.ред. код]

Обернені гіперболічні функції можна розкласти в ряди:

Asymptotic expansion for the arsinh x is given by

Похідні[ред.ред. код]

Для дійсних x:

Приклад диференціювання: якщо θ = arsh x, то:

Композиція гіперболічних і обернених гіперболічних функцій[ред.ред. код]

Додаткові формули[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Herbert Busemann, Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, с. 207, Academic Press.

Посилання[ред.ред. код]