Обернені тригонометричні функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Обернені тригонометричні функції (аркфункції) — математичні функції, що є оберненими до тригонометричних функцій.

До обернених тригонометричних функцій відносять 6 функцій:

  • аркси́нус (arcsin)
  • аркко́синус (arccos)
  • аркта́нгенс (arctg; в іноземній літературі arctan)
  • арккота́нгенс (arcctg; в іноземній літературі arccot чи arccotan)
  • арксе́канс (arcsec)
  • арккосе́канс (arccosec; в іноземній літературі arccsc)

Назва оберненої тригонометричної функції утворюється від назви тригонометриної функції за допомогою префікса «арк-» (від лат. arc — дуга). Це тому, що геометрично значення оберненої тригонометричної функції рівне дузі одиничного кола (чи кутові, що стягує цю дугу), яка опирається на заданий відрізок.

Основні властивості[ред. | ред. код]

Головні значення[ред. | ред. код]

Оскільки жодна із тригонометричних функції не є однозначною, вони мають обмеження для того, щоб мати обернені функції. Тому області значень обернених функцій є відповідними підмножинами області визначення початкових функцій.

Функцію y = arcsin(x) можна визначити як таку, що sin(y) = x. Для даного дійсного числа x, в діапазоні −1 ≤ x ≤ 1, існує декілька (на справді, нескінченно багато) чисел y, таких що sin(y) = x; наприклад, sin(0) = 0, але і sin(π) = 0, sin(2π) = 0, і так далі. Якщо необхідно отримати лише одне значення, функцію можна обмежити до її головної області. Із таким обмеженням, для кожного x вираз arcsin(x) буде обчислювати лише одне значення, яке називається головним значенням[en]. Ці властивості застосовується до всіх обернених тригонометричних функцій.

Головні області значень зворотніх функцій наведені у таблиці.

Назва Позначення Визначення Можливі дійсні значення аргументу функції
Область значень
(радіани)
Область значень
(градуси)
арксинус y = arcsin x x = sin y −1 ≤ x ≤ 1 −π/2 ≤ y ≤ π/2 −90° ≤ y ≤ 90°
арккосинус y = arccos x x = cos y −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0° ≤ y ≤ 180°
арктангенс y = arctg x x = tg y всі дійсні числа −π/2 < y < π/2 −90° < y < 90°
арккотангенс y = arcctg x x = ctg y всі дійсні числа 0 < y < π 0° < y < 180°
арксеканс y = arcsec x x = sec y x ≤ −1 or 1 ≤ x 0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π 0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°
арккосеканс y = arccosec x x = cosec y x ≤ −1 or 1 ≤ x −π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2 -90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°

Основні відношення[ред. | ред. код]

Головні значення функцій arcsin(x) та arccos(x).
Головні значення функцій arcsec(x) та arccsc(x).

Доповнювальний кут:

від'ємний аргумент:

Обернений аргумент:

Якщо наявна тільки частина таблиці для sine:

Із формули половинного кута , отримаємо:

Відношення між оберненими тригонометричними та тригонометричними функціями[ред. | ред. код]

Тригонометричні функції, аргументом яких є зворотні тригонометричні функції, приведені в таблиці нижче. Їх можна швидко вивести із геометрії правильного трикутника, одна із сторін якого має довжину 1, а інша сторона має довжину x (будь-яке дійсне число що приймає значення від 0 до 1), і застосувавши Теорему Піфагора і визначення тригонометричних співвідношень.

Діаграми
Trigonometric functions and inverse3.svg
Trigonometric functions and inverse.svg
Trigonometric functions and inverse2.svg
Trigonometric functions and inverse5.svg
Trigonometric functions and inverse6.svg
Trigonometric functions and inverse4.svg

Диференціювання тригонометричних функцій[ред. | ред. код]

Похідна для дійсних та комплексних значень x:

Тільки для дійсних значень x:

Приклад знаходження похідної: нехай , отримаємо:

Застосування[ред. | ред. код]

Знаходження кутів прямокутного трикутника[ред. | ред. код]

Прямокутний трикутник: a - протилежний катет, b - прилеглий катет і h- гіпотенуза.

Обернені тригонометричні функції є корисними, коли необхідно визначити два не прямі кути прямокутного трикутника при відомих довжинах сторін трикутника. Якщо для прямокутного трикутника згадати визначення синуса, наприклад, буде отримане наступне

Часто, гіпотенуза є не відомою і перед застосуванням функцій арксинуса або арккосинуса її необхідно розрахувати використовуючи теорему Піфагора: де це довжина гіпотенузи. Арктангенс стає корисним в такій ситуації, оскільки довжина гіпотенузи не є необхідною.

Наприклад, допустимо дах має висоту в 8 метрів і просувається в довжину на 20 метрів. Дах утворює кут θ із горизонталлю, де θ можна розрахувати наступним чином:

У комп'ютерній науці і інженерії[ред. | ред. код]

Варіант арктангенсу з двома аргументами[ред. | ред. код]

Функція з двома аргументами atan2[en] розраховує арктангенс y / x для заданих y і x, але в діапазоні (−ππ]. Іншими словами, atan2(yx) повертає кут між додатною частиною осі x на площині і точкою (xy) на ній, і повертає додані значення для кутів проти годинникової стрілки (верхній півплощині, y > 0), і від'ємні значення для кутів за годинниковою стрілкою (нижньої півплощини, y < 0). Вперше така функція з'явилася в комп'ютерних мовах програмування, але зараз вона є відомою і в інших областях науки і інженерії.

Через стандартну функцію arctan, у діапазоні (−π2, π2), її можна задати наступним чином:

Це також дорівнює головному значенню[en] аргумента[en] комплексного числа x + iy.

Цю функцію також можна визначити із використанням формули тангенса половинного кута[en] наступним чином:

за умови, що x > 0 або y ≠ 0. Однак, значення буде не коректним якщо x ≤ 0 і y = 0 тому такий вираз не є корисним для розрахунків.

Вищезгаданий порядок аргументів (y, x) є найбільш загальним, і зокрема використовується в ISO стандартах що застосовуються, наприклад в мові програмування C, але деякі автори можуть використовувати порядок навпаки (x, y), тому потрібно приділяти увагу.

Числова точність[ред. | ред. код]

Для кутів близькими за значенням до 0 і π, arccosine є погано обумовленим і тому обчислення кута буде відбуватися із зменшеною точністю при реалізації на комп'ютері (через обмежену кількість розрядів).[1] Аналогічно, arcsine є неточним для кутів близьких до −π/2 and π/2.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Аркфункція: від А до Я / О. С. Істер. — Вид. 2-ге. — Тернопіль : Навч. кн.—Богдан, 2012. — 175 с. : іл., табл. ; 20 см. — (Бібліотечка фізико-математичної школи, ISBN 978-966-10-0742-9). — ISBN 978-966-10-2985-8

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Gade, Kenneth (2010). A non-singular horizontal position representation (PDF). The Journal of Navigation (Cambridge University Press) 63 (3): 395–417. doi:10.1017/S0373463309990415.