Обертання (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Обертання об'єкта на площині навколо точки

В геометрії та лінійній алгебрі, обертання — рух, який зберігає орієнтацію простору (площини) та має нерухомі точки.

Обертання відрізняється від паралельного перенесення, який не має нерухомої точки, але зберігає орієнтацію. Також відрізняється від відбиття, яке змінює орієнтацію, хоч і має нерухомі точки. Обертання та інші згадані перетворення є ізометріями; вони залишають незмінними відстані між двома будь-якими точками.

В двовимірному просторі[ред.ред. код]

Пласке обертання навколо точки після попереднього обертання в результаті дає або обертання (як на малюнку), або паралельне перенесення.
Відбиття відносно осі після відбиття відносно іншої не паралельної першій осі дає в результаті обертання навколо точки перетину осей.

Достатньо одного кута для визначення обертання на площині - кута обертання. Для обчислення обертання можна використовувати один з двох методів, або матричну алгебру, або комплексні числа.

Матрична алгебра[ред.ред. код]

Для проведення обертання з використанням матриць, точку записують у вигляді вектора, потім множать на матрицю від кута , схожу на:

.

координати точки після обертання, і можуть бути записані так:

Вектори і мають один і той самий розмір і відокремлені кутом , як і очікувалось.

Комплексні числа[ред.ред. код]

Точку також можна обертати за допомогою комплексних чисел. Множина всіх цих чисел, комплексна площина, геометрично являє собою двовимірну площину. Точка на площині представлена комплексним числом

Обертання точки на кут можна здійснити множенням , розгорнемо формулу використавши формулу Ейлера:

що нам дає такий самий як і раніше результат,

Як і комплексні числа обертання в двовимірному просторі комутативні, на відміну від більш високих вимірів. Вони мають тільки одну ступінь свободи, тобто обертання однозначно визначено кутом обертання.[1]

В тривимірному просторі[ред.ред. код]

Обертання в звичайному тривимірному просторі значно відрізняється від двовимірного обертання. Таке обертання, як правило, не комутативне, тобто порядок застосування обертань важливий. Вони мають три ступеня свободи, так само як і розмірність простору.

Тривимірне обертання може бути визначене багатьма способами. Найпопулярніші з них такі:

Матрична алгебра[ред.ред. код]

Докладніше: Матриця повороту

Матриця використовується для переведення точки (x, y, z) в (x′, y′, z′). Розмір матриці 3 × 3:

Для отримання результату множимо матрицю на вектор, що представляє початкову точку

Матриця є елементом тривимірної ортогональної групи, SO(3), це ортогональна матриця з визначником 1. Через ортогональність рядки матриці є набором ортогональних одиничних векторів (тобто вони є ортонормованим базисом), так само як і стовпці, що полегшує перевірку, чи дійсно це матриця обертання. Якщо ж визначник −1 (матрична група O(3), ), тоді перетворення буде відбиттям або невласним перетворенням.

Матриці часто використовують для перетворень, особливо коли мова йде про велику кількість точок, через те що вони є прямим представленням лінійного відображення. Обертання представленні іншим чином часто переводяться в матричне представлення. Вони можуть бути розширені для представлення обертань і перетворень в однорідних координатах. Перетворення в проективному просторі представленні матрицею 4 х 4, яка не є матрицею обертання, але яке має її в своєму верхньому лівому куті.

Найбільший мінус у використанні матриць — велика кількість обчислень. Особливо це відчувається в системах де числова стійкість дуже важлива.

Ейлерові кути[ред.ред. код]

Крен, Тангаж і Рискання - основні осі обертання в просторі.
Докладніше: Ейлерові кути

Один з варіантів узагальнення двовимірного кута це визначення трьох кутів обертання, здійснюючих обертання навколо трьох головних осей. В аеродинаміці вони називаються Крен, Тангаж і Рискання, а в математиці використовують термін Ейлеровими кутами. Вони мають переваги при моделюванні таких фізичних систем як джойстик, вони легко візуалізуються, і це дуже компактний спосіб зберігати інформацію про обертання. Але їх важко використовувати в обчисленнях через те, що навіть такі прості операції, як комбінування обертань, дуже дорогі, також для деяких обертань неможливо обчислити єдиний вірний варіант трьох кутів.

Кватерніони[ред.ред. код]

Кватерніон обертання складається з чотирьох чисел, його довжина вважається рівною 1. Це обмежує кількість ступенів свободи трьома ступенями. Кватерніони можна розглядати як узагальнення поняття комплексних чисел, як приклад процедура Келі-Діксона, вони породжують обертання через множення. Але на відміну від матриць і комплексних чисел два множення потрібні:

В чотиривимірному просторі[ред.ред. код]

Узагальнення[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Lounesto 2001, p.30.