Обертова система відліку

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Оберто́ва систе́ма ві́дліку — це особливий випадок неінерційної системи відліку, яка обертається щодо інерційної системи відліку. Повсякденним прикладом обертової системи відліку є поверхня Землі.

Сили інерції[ред. | ред. код]

Докладніше: Сила інерції

Неінерційна система відліку проявляє фіктивні сили. Обертова система відліку характеризується трьома такими силами:

і, для нерівномірно обертових систем відліку,

Зіставлення обертових систем до стаціонарних систем[ред. | ред. код]

Наступне це виведення формул для прискорення а також фіктивних сил в обертовій системі відліку. Спочатку розглядаємо зв'язок між координатами частинки в обертовій системі відліку та її координатами в інерційній (стаціонарній) системі відліку. Тоді, беручі похідну, отримуємо формули, які пов'язують швидкість частинки, що спостерігається у цих системах відліку, і прискорення стосовно двох систем відліку. Використовуючи прискорення, через порівняння другого закону Ньютона сформульованого в обох системах відліку визначаємо фіктивні сили.

Зв'язок між позиціями в обох системах відліку[ред. | ред. код]

Для отримання сил інерції корисно вміти конвертувати координати обертової системи відліку у координати інерційної системи відліку з тим самим початком координат і навпаки. Якщо обертання відбувається щодо осі з кутовою швидкістю і дві системи збігаються у час , перетворення з обертових координат у інерційні координати можна записати як:

тоді як зворотнє перетворення

Результат можна отримати з матриці повороту.

Введемо одиничні вектори що представлятимуть стандартні одиничні базисні вектори обертової системи відліку. Далі знайдемо часову похідну цих одиничних векторів у обертовій системі відліку. Припустимо, що системи відліку вирівняні в час t = 0 і z-вісь є віссю обертання. Тоді для обертання проти годинникової стрілки на кут Ωt:

де (x, y) компоненти виражені у стаціонарну систему відліку. Так само,

Отже, часова похідна цих векторів, що обертаються без зміни величини, становить

де . Цей результат також можна отримати через векторний добуток з вектором обертання який спрямований уздовж осі обертання , а саме,

де це або або .

Часові похідні в двох системах відліку[ред. | ред. код]

Ми ввели вектори які представляють стандартні одиничні базисні вектори в обертовій системі відліку. По мірі обертання вони залишатимуться нормалізованими. Якщо ми дозволимо їм обертатись зі швидкістю щодо осі тоді кожен одиничний вектор обертової системи відліку кориться такому рівнянню:

Далі, якщо ми маємо вектор-функцію ,

і ми хочемо дослідити її першу похідну, то ми отримуємо (використовуючи правило добутку):[1][2]

де є швидкістю зміни , як це видно з обертової системи координат. Скорочено диференціювання можна виразити як:

Цей результат відомий як транспортна теорема у аналітичній динаміці і також іноді згадувана як базове кінематичне рівняння.[3]

Зв'язок між векторами швидкостей в двох системах відліку[ред. | ред. код]

Вектор швидкості об'єкта це часова похідна позиції об'єкта або

Часова похідна позиції в обертовій системі відліку має дві складові, одну з явної залежності внаслідок руху самої частинки, другу з власного обертання системи відліку. Застосовуючи результат попереднього підрозділу до зміщення , швидкості у двох системах відліку пов'язані таким рівнянням

де індекс i позначає інерційну систему відліку, а r — обертову систему відліку.

Зв'язок між прискореннями у двох системах відліку[ред. | ред. код]

Прискорення є другою похідною по часу від позиції або перша похідна по часу від швидкості

де індекс i позначає інерційну систему відліку. Виконавши диференціювання і перестановку деяких членів дає нам прискорення в обертовій системі відліку

де  — це видиме прискорення в обертовій системі відліку, доданок представляє відцентрове прискорення, а доданок  — це коріолісове прискорення.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Cornelius Lanczos (1986). The Variational Principles of Mechanics (вид. Reprint of Fourth Edition of 1970). Dover Publications. Chapter 4, §5. ISBN 0-486-65067-7. 
  2. John R Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. с. 342. ISBN 1-891389-22-X. 
  3. Corless, Martin. Kinematics. Aeromechanics I Course Notes. Purdue University. с. 213. Процитовано 18 July 2011.