Область цілісності

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Область цілісності  — поняття абстрактної алгебри: асоціативне комутативне кільце з одиницею, в якому 0≠1 і добуток двох ненульових елементів не рівний нулю. Умова 0≠1 виключає з розгляду тривіальне кільце {0}.

Еквівалентне визначення: область цілісності — це асоціативне комутативне кільце, в якому нульовий ідеал {0} є простим.

Приклади[ред.ред. код]

  • Простий приклад області цілісності — кільце цілих чисел .
  • Будь-яке поле є областю цілісності. З іншого боку, будь-яка артинова область цілісності є полем. Зокрема, всі скінченні області цілісності є скінченними полями.
  • Кільце многочленів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами.
  • Множина дійсних чисел виду є підкільцем поля , і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про множину комплексних чисел виду , де і цілі.
  • Нехай зв'язна відкрита підмножина комплексної площини . Тоді кільце всіх голоморфних функцій буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного многовиду.
  • Якщо  — комутативне кільце, а  — ідеал в , то фактор-кільце цілісне тоді і тільки тоді, коли — простий ідеал.
  • Кільце p-адичних цілих чисел.

Подільність, прості незвідні елементи[ред.ред. код]

Нехай і  - елементи цілісного кільця . Говорять, що « ділить » або « - дільник » (і пишуть ), якщо і тільки якщо існує елемент такий, що .

Подільність транзитивна: якщо ділить і ділить , то ділить . Якщо ділить і , то ділить також їх суму і різниця .

Для кільця з одиницею елементи , які ділять 1, називаються оборотними або дільниками одиниці. Елементи а і b називаються асоційованими, якщо а ділить b і b ділить а. а і b асоційовані тоді і тільки тоді, коли , де e — оборотний елемент.

Ненульовий елемент , що не є оборотним називається незвідним, якщо його не можна розкласти в добуток двох елементів, що не є оборотними.

Ненульовий необоротний елемент називається простим, якщо з того, що , слідує або . Це визначення узагальнює поняття простого числа в кільці , проте враховує і негативні прості числа. Якщо  — простий елемент кільця, то породжуваний ним головний ідеал буде простим. Будь-який простий елемент є незвідним, але зворотне вірно не у всіх областях цілісності.

Властивості[ред.ред. код]

  • Будь-яке поле, а також будь-яке кільце з одиницею, що міститься в деякому полі, є областю цілісності.
    • Навпаки, будь-яка область цілісності може бути вкладена в деяке поле. Таке вкладення дає конструкція поля часток.
  • Якщо — область цілісності, те кільце многочленів і кільце формальних степеневих рядів над також будуть областями цілісності.
  • Якщо — комутативне кільце з одиницею і — деякий ідеал , то кільце є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал є простим.
  • Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його спектр є незвідним топологічним простором.
  • Прямий добуток кілець ніколи не буває областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0.
  • Тензорний добуток цілісних кілець теж буде цілісним кільцем.
  • Характеристика області цілісності є або нулем, або простим числом.

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності. Прикладами некомутативних областей цілісності є тіла, а також підкільця тіл, що містять одиницю, наприклад кватерніони з цілими координатами. Проте, взагалі кажучи, невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло.

Література[ред.ред. код]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва : Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.(рос.)
  • Adamson Iain T. (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
  • Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-19373-9
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract algebra (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-36857-1
  • Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967), Algebra, New York: The Macmillan Co., MR0214415