Обмежена функція

У математиці функція f, визначена на деякій множині X з дійсними або комплексними значеннями, називається обмеженою, якщо множина її значень обмежена. Іншими словами, існує дійсне число M таке, що

|f(x)|\leq M

для всіх x у X. Функція, яка не є обмеженою, називається необмеженою.

Якщо f є дійсним значенням і f ( x ) ≤ A для всіх x у X, тоді функція називається обмеженою зверху A. Якщо f ( x ) ≥ B для всіх x у X, то функція називається обмеженою знизу B. Дійсна функція обмежена тоді і лише тоді, коли вона обмежена зверху та знизу.

Важливим особливим випадком є обмежена послідовність, де X приймається як множина N натуральних чисел . Таким чином, послідовність f = ( a ₀, a ₁, a ₂, ...) обмежена, якщо існує дійсне число M таке, що

|a_{n}|\leq M

для кожного натурального числа n . Сукупність усіх обмежених послідовностей утворює простір послідовностей $l^{\infty }$ .

Визначення обмеженості можна узагальнити на функції f : X → Y приймає значення в більш загальному просторі Y, якщо відображення f (X) обмежена множина у Y.

Суміжні поняття

Слабшим за обмеженість поняттям є поняття локальної обмеженості. Сімейство обмежених функцій може бути рівномірно обмеженим.

Обмежений оператор T : X → Y не є обмеженою функцією у значенні визначення цієї сторінки (якщо T = 0 ), але має слабшу властивість зберігати обмеженість: Обмежені множини M ⊆ X відображаються в обмежені множини T (M) ⊆ Y. Це визначення можна поширити на будь-яку функцію f : X → Y, якщо X і Y допускають поняття обмеженої множини. Обмеженість також можна визначити графічно.

Приклади

Функція sin : R → R обмежена.
Функція $f(x)=(x^{2}-1)^{-1}$ визначена для всіх дійсних x, крім −1 та 1 необмежена. Коли x наближається до -1 або 1, значення цієї функції зростають щораз більше. Цю функцію можна зробити обмеженою, якщо розглядати її на відрізку, наприклад, [2, ∞) або (−∞, −2].

Функція ${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$ визначена для всіх дійсних х обмежена.
Арктангенс оберненої тригонометричної функції, який визначається як: y = $arctan(x)$ або x = $tan (y)$ , збільшується для всіх дійсних чисел x і обмежується знаками - $π$ /2 < y < $π$ /2 радіана
Кожна неперервна функція f : [0, 1] → R обмежена. Більш загально, будь-яка неперервна функція з компактного простору в метричний простір обмежена.
Усі комплекснозначущі функції f : C → C, які цілі, є або необмеженими, або постійними як наслідок теореми Ліувілля. Зокрема, комплексна функція sin : C → C є необмежена, оскільки вона повна.
Функція f, яка приймає значення 0 для x раціонального числа і 1 для x ірраціонального числа (пор. Функція Діріхле ) обмежена. Таким чином, функція не повинна бути "гарною", щоб бути обмеженою. Набір усіх обмежених функцій, визначених на [0, 1], набагато більший, ніж набір неперервних функцій на цьому інтервалі.

Див. також

Джерела

Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2100+ с.(укр.)
Жалдак М.І., Михалін Г.О., Деканов С.Я. Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник. — К. : НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. — 430 с.(укр.)