Обмінна матриця

Обмінна матриця (англ. exchange matrix) — бінарна матриця, у якої на антидіагоналі стоять одиниці, а всі інші елементи нулі. Є матрицею перестановки.

За допомогою символа Кронекера можно записати це означення так: $J_{ij}=\delta _{n+1-i,j}$.

Ця матриця є найпростішим прикладом: антидіагональної матриці, інволютивної матриці та матриці перестановки.

$J_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}},\quad \ldots \quad J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&1\\0&0&\cdots &1&0\\\vdots &\vdots &\,{}_{_{\displaystyle \cdot }}\!\,{}^{_{_{\displaystyle \cdot }}}\!{\dot {\phantom {j}}}&\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0\\1&0&\cdots &0&0\end{pmatrix}}$

Властивості

• $\det J=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}$.
• $\mathop {\rm {tr}} \;J=n{\bmod {2}}$ (1 для непарних $n$; 0 для парних $n$);
• $J^{T}=J$;
• $J^{2}=I$ та $J^{-1}=J$, тобто $J$ — інволютивна матриця;

Множення

Для прямокутної матриці $A_{i,j}$ розміру, який дозволяє множення з $J$:

• $(JA)_{i,j}=A_{n+1-i,j}$ — обмін рядків симетрично верх-низ.
• $(AJ)_{i,j}=A_{i,n+1-j}$ — обмін стовпців симетрично ліво-право.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)