Однорідний зірчастий многогранник

Вітрина з однорідними многогранниками в Музеї науки в Лондоні

Малий кирпатий ікосоікосододекаедр бувши однорідним зірчастим многогранником з вершинної фігурою 3⁵.⁵/₂

Однорі́дний зірча́стий многогра́нник — самоперетинний однорідний многогранник. Ці многогранники називають також неопуклими многогранниками, підкреслюючи наявність самоперетинів. Кожен многогранник може мати грані у вигляді зірчастих многокутників або зірчасті вершинні фігури, але може містити і те, й інше.

Повний набір 57 непризматичних однорідних зірчастих многогранників включає 4 правильних, званих тілами Кеплера — Пуансо, 5 квазіправильних, і 48 напівправильних.

Існує також дві нескінченні множини однорідних зірчастих призм і антипризм.

Так само, як (невироджені) зірчасті многокутники (які мають щільність більшу 1) відповідають круговим многокутникам з перекривними частинами, зірчасті многогранники, які не проходять через центр, мають щільність більшу 1, і відповідають сферичним многогранникам із перекривними частинами. Існує 48 таких непризматичних однорідних зірчастих многогранників. Решта 9 непризматичних однорідних зірчастих многогранників мають грані, що проходять через центр, є напівмногогранниками і не відповідають сферичним многогранникам, оскільки центр не можна однозначно спроєктувати на сферу.

Неопуклі форми будують із трикутників Шварца.

Всі трикутники, перераховані нижче, згруповано за їхніми групами симетрії, а всередині згруповано за розташуванням вершин.

Правильні многогранники позначено їхніми символами Шлефлі. Для інших, неправильних однорідних многогранників, зазначено їхню вершинну конфігурацію або номер однорідного многогранника (Uniform polyhedron index, U (1-80)).

Примітка: для неопуклих форм нижче наведено додатковий опис Неоднорідний, коли опукла оболонка набору вершин має таку ж топологію, але має неправильні грані. Наприклад, неоднорідне скошування (видалення ребер) може дати на місцях віддалених ребер прямокутник, а не квадрат.

Діедральна симетрія

Див. Призматичний однорідний многогранник.

Тетраедральна симетрія

Трикутники (3 3 2) на сфері

Існує один неопуклий вид, тетрагемігексаедр, який має тетраедральну симетрію (з фундаментальною областю трикутник Мебіуса (3 3 2)).

Існує два трикутники Шварца, з яких утворюються унікальні неопуклі однорідні многогранники — прямокутний трикутник (3/232) і один трикутник загального вигляду (3/233). Трикутник (3/2 3 3) генерує октагеміоктаедр , наведений нижче в розділі октаедральної симетрії.

Розташування вершин (опукла оболонка)	Неопуклі види
Тетраедр
Спрямлений тетраедр Октаедр	(4.3/2.4.3) 3/2 3 | 2
Зрізаний тетраедр
Скошений тетраедр (кубооктаедр)
Всезрізаний тетраедр (зрізаний октаедр)
Кирпатий тетраедр (ікосаедр)

Октаедральна симетрія

Трикутники (4 3 2) на сфері

Існує 8 опуклих форм і 10 непуклих із октаедральною симетрією (з фундаментальною областю трикутник Мебіуса (4 3 2)).

Існує чотири трикутники Шварца, які утворюють неопуклі форми, два прямокутні, (3/2 4 2) і (4/3 3 2), і два загального вигляду, (4/3 4 3) та (3/2 4 4).

Розташування вершин (опукла оболонка)	Неопуклі види
Куб
Октаедр
Кубооктаедр	(6.4/3.6.4) 4/3 4 | 3	(6.3/2.6.3) 3/2 3 | 3
Зрізаний куб	4.8/3.4/3.8/5)  2 4/3 (3/2 4/2)  |	(8/3.3.8/3.4) 3 4 | 4/3	(4.3/2.4.4) 3/2 4 | 2
Зрізаний октаедр
Ромбокубооктаедр	(4.8.4/3.8) 2 4 (3/2 4/2) |	(8.3/2.8.4) 3/2 4 | 4	(8/3.8/3.3) 2 3 | 4/3
Неоднорідний зрізаний кубооктаедр	(4.6.8/3) 2 3 4/3 |
Неоднорідний зрізаний кубооктаедр	(8/3.6.8) 3 4 4/3 |
Кирпатий куб

Ікосаедральна симетрія

Трикутники (5 3 2) на сфері

Є 8 опуклих форм та 46 непуклих із ікосаедральною симетрією (з фундаментальною областю трикутник Мебіуса (5 3 2)) (або 47 неопуклих форм, якщо включати фігуру Скіллінга). Деякі неопуклі кирпаті види мають дзеркальну вершинну симетрію.

Розташування вершин (опукла оболонка)	Невыпуклі види
Ікосаедр	{5,5/2}	{5/2,5}	{3,5/2}
Неоднорідний Зрізаний ікосаедр 2 5 |3	U37 2 5/2 | 5	U61 5/2 3 | 5/3	U67 5/3 3 | 2	U73 2 5/3 (3/2 5/4) |
Неоднорідний Зрізаний ікосаедр 2 5 |3	U38 5/2 5 | 2	U44 5/3 5 | 3	U56 2 3 (5/4 5/2) |
Неоднорідний Зрізаний ікосаедр 2 5 |3	U32 | 5/2 3 3
Ікосододекаедр 2 | 3 5	U49 3/2 3 | 5	U51 5/4 5 | 5	U54 2 | 3 5/2	U70 5/3 5/2 | 5/3	U71 3 3 | 5/3	U36 2 | 5 5/2	U62 5/3 5/2 | 3	U65 5/4 5 | 3
Зрізаний додекаедр 2 3 | 5	U42	U48	U63
Неоднорідний Зрізаний додекаедр	U72
Додекаедр	{5/2,3}	U30	U41	U47
Ромбоікосододекаедр	U33	U39	U58
Додекаедр зі знятими краями	U55
Неоднорідний Ромбоікосододекаедр	U31	U43	U50	U66
Неоднорідний Ромбоікосододекаедр	U75	U64	Тіло Скіллінга (див. нижче)
Неоднорідний Ромбозрізаний ікосододекаедр	U45
Неоднорідний Ромбозрізаний ікосододекаедр	U59
Неоднорідний Зрізаний ікосододекаедр	U68
Неоднорідний Кирпатий додекаедр	U40	U46	U57	U69	U60	U74

Тіло Скіллінга

Ще один неопуклий многогранник — великий бікирпатий біромбододекаедр, відомий також як тіло Скіллінга, яке вершинно однорідне, але має спільні для граней пари ребер, так що чотири грані мають одне спільне ребро. Іноді його відносять до однорідних многогранників. Тіло має симетрію I_h.

Вироджені випадки

Коксетер за допомогою побудови Вітгоффа визначив деяку кількість вироджених зірчастих многогранників, які мають ребра або вершини, що перекриваються. До цих вироджених форм належать:

• Малий складений ікосододекаедр
• Великий складений ікосододекаедр
• Малий складений ромбоікосододекаедр
• Складений ромбододекододекаедр
• Великий складений ромбоікосододекаедр

Див. також

• Зірчастий многокутник
• Список однорідних многогранників
• Список однорідних многогранників за породжувальними трикутниками Шварца

Література

• H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вип. 916. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — DOI:10.1098/rsta.1954.0003.
• М. Веннинджер. Модели многогранников. — «Мир», 1974.
• M. Brückner. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte. — Leipzig, Germany : Teubner, 1900.
• С.П. Сопов. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников // Украинский геометрический сборник. — 1970. — Вип. 8. — С. 139–156.
• J. Skilling. The complete set of uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — 1975. — Т. 278, вип. 1278. — С. 111–135. — ISSN 0080-4614. — DOI:10.1098/rsta.1975.0022.
• Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har'El, Kaleido software, Images, dual images
• R. E. Mäder. Uniform Polyhedra // Mathematica. — 1993. — Вип. 3. — С. 48-57. [1] Архівна копія на сайті Wayback Machine.
• Peter W. Messer. Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals // Discrete & Computational Geometry. — 2002. — Вип. 27. — С. 353-375.
• Richard Klitzing, 3D, uniform polyhedra Архівна копія на сайті Wayback Machine.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Однорідний многогранник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.