Однорідний многогранник

Однорі́дний многогранник — вершинно транзитивний многогранник (транзитивний відносно вершин, а також ізогональний, тобто є рух, що переводить вершину в будь-яку іншу), грані якого є правильними многокутниками. Звідси випливає, що всі вершини конгруентні і многогранник має високий рівень дзеркальної й обертової симетрії.

Однорідні многогранники можна поділити на опуклі форми з гранями у вигляді правильних опуклих многокутників і зірчасті форми. Зірчасті форми мають грані у вигляді правильних зірчастих многокутників, вершинних фігур або обох видів разом.

Список включає:

• всі 75 непризматичних однорідних многогранників;
• деяких представників нескінченної множини призм та антипризм;
• один окремий випадок, многогранник Скілінга з ребрами, що перетинаються.

1970 року радянський учений Сопов довів, що існує лише 75 однорідних многогранників, які не входять до нескінченних серій призм і антипризм. Джон Скілінг (John Skilling) відкрив ще один многогранник, послабивши умову, що ребро може належати лише двом граням. Деякі автори не вважають цей многогранник однорідним, оскільки деякі пари ребер збігаються.

Не включено:

• 40 потенційних однорідних многогранників з виродженими вершинними фігурами, які мають ребра, що перетинаються (не перераховані Коксетером);
• Однорідні мозаїки (нескінченні многогранники)
  • 11 евклідових однорідних мозаїк із опуклими гранями
  • 14 евклідових однорідних мозаїк із неопуклими гранями
  • Нескінченна кількість однорідних мозаїк на гіперболічній площині .

Нумерація

Використовують чотири схеми нумерації однорідних многогранників, що відрізняються літерами:

• [C] Коксетер зі співавторами (1954). Список містить опуклі види з номерами від 15 до 32, три призматичні види (номери 33—35) та неопуклі види (номери 36—92).
• [W] Веннінджер (1974). Список містить 119 фігур: номери 1—5 для платонових тіл, 6—18 для архімедових тіл, 19—66 для зірчастих видів, включно з 4 правильними неопуклими многогранниками, та 67—119 для неопуклих однорідних многогранників.
• [K] Kaleido (програма, 1993). Список містить 80 фігур, номери згруповано за симетрією: 1—5 представляють нескінченні серії призматичних форм з діедричною симетрією, 6—9 з тетраедричною симетрією, 10—26 з октаедричною симетрією, 46—80 з ікосаедричною симетрією.
• [U] Mathematica (програма, 1993). У програмі, загалом, використано таку ж нумерацію, як у програмі Kaleido, лише перші 5 призматичних види перенесено в кінець списку, отже непризматичні види отримали номери 1—75.

Список многогранників

Опуклі форми перераховано в порядку степенів вершинних конфігурацій від 3 граней/вершин і далі, і збільшення сторін грані. Таке впорядкування дозволяє показати топологічну схожість.

Опуклі однорідні багатогранники

Назва	Малюнок	Тип вершинної конфігурації	Символ Вітгоффа	Сим.	C#	W#	U#	K#	Вер- шин	Ре- бер	Гра- ней	$\chi$	Щіль- ність	Граней за типами
Тетраедр		3.3.3	2 3	Td	C15	W001	U01	K06	4	6	4	2	1	4{3}
Трикутна призма		3.4.4	2	D3h	C33a	--	U76a	K01a	6	9	5	2	1	2{3} +3{4}
Зрізаний тетраедр		3.6.6	3	Td	C16	W006	U02	K07	12	18	8	2	1	4{3} +4{6}
Зрізаний куб		3.8.8	4	Oh	C21	W008	U09	K14	24	36	14	2	1	8{3} +6{8}
Зрізаний додекаедр		3.10.10	5	Ih	C29	W010	U26	K31	60	90	32	2	1	20{3} +12{10}
Куб		4.4.4	2 4	Oh	C18	W003	U06	K11	8	12	6	2	1	6{4}
Пятикутна призма		4.4.5	2	D5h	C33b	--	U76b	K01b	10	15	7	2	1	5{4} +2{5}
Шестикутна призма		4.4.6	2	D6h	C33c	--	U76c	K01c	12	18	8	2	1	6{4} +2{6}
Восьмикутна призма		4.4.8	2	D8h	C33e	--	U76e	K01e	16	24	10	2	1	8{4} +2{8}
Десятикутна призма		4.4.10	2	D10h	C33g	--	U76g	K01g	20	30	12	2	1	10{4} +2{10}
Дванадцятикутна призма		4.4.12	2	D12h	C33i	--	U76i	K01i	24	36	14	2	1	12{4} +2{12}
Зрізаний октаедр		4.6.6	3	Oh	C20	W007	U08	K13	24	36	14	2	1	6{4} +8{6}
Зрізаний кубооктаедр		4.6.8		Oh	C23	W015	U11	K16	48	72	26	2	1	12{4} +8{6} +6{8}
Ромбозрізаний ікосододекаедр		4.6.10		Ih	C31	W016	U28	K33	120	180	62	2	1	30{4} +20{6} +12{10}
Додекаедр		5.5.5	2 5	Ih	C26	W005	U23	K28	20	30	12	2	1	12{5}
Зрізаний ікосаедр		5.6.6	3	Ih	C27	W009	U25	K30	60	90	32	2	1	12{5} +20{6}
Октаедр		3.3.3.3	2 3	Oh	C17	W002	U05	K10	6	12	8	2	1	8{3}
Квадратна антипризма		3.3.3.4	2 2 4	D4d	C34a	--	U77a	K02a	8	16	10	2	1	8{3} +2{4}
П'ятикутна антипризма		3.3.3.5	2 2 5	D5d	C34b	--	U77b	K02b	10	20	12	2	1	10{3} +2{5}
Шестикутна антипризма		3.3.3.6	2 2 6	D6d	C34c	--	U77c	K02c	12	24	14	2	1	12{3} +2{6}
Восьмикутна антипризма		3.3.3.8	2 2 8	D8d	C34e	--	U77e	K02e	16	32	18	2	1	16{3} +2{8}
Десятикутна антипризма		3.3.3.10	2 2 10	D10d	C34g	--	U77g	K02g	20	40	22	2	1	20{3} +2{10}
Дванадцятикутна антипризма		3.3.3.12	2 2 12	D12d	C34i	--	U77i	K02i	24	48	26	2	1	24{3} +2{12}
Кубооктаедр		3.4.3.4	3 4	Oh	C19	W011	U07	K12	12	24	14	2	1	8{3} +6{4}
Ромбокубооктаедр		3.4.4.4	2	Oh	C22	W013	U10	K15	24	48	26	2	1	8{3} +(6+12){4}
Ромбоікосододекаедр		3.4.5.4	2	Ih	C30	W014	U27	K32	60	120	62	2	1	20{3} +30{4} +12{5}
Ікосододекаедр		3.5.3.5	3 5	Ih	C28	W012	U24	K29	30	60	32	2	1	20{3} +12{5}
Ікосаедр		3.3.3.3.3	2 3	Ih	C25	W004	U22	K27	12	30	20	2	1	20{3}
Кирпатий куб		3.3.3.3.4	2 3 4	O	C24	W017	U12	K17	24	60	38	2	1	(8+24){3} +6{4}
Кирпатий додекаедр		3.3.3.3.5	2 3 5	I	C32	W018	U29	K34	60	150	92	2	1	(20+60){3} +12{5}

Однорідні зірчасті многогранники

Назва	Малюнок	Символ Вітгоффа	Тип вершинної конфігурації	Сим.	C#	W#	U#	K#	Вер- шин	Ре- бер	Гра- ней	$\chi$	Щіль- ність	Граней за типом
Октагеміоктаедр		3	6.3/2.6.3	Oh	C37	W068	U03	K08	12	24	12	0		8{3}+4{6}
Тетрагемігексаедр		2	4.3/2.4.3	Td	C36	W067	U04	K09	6	12	7	1		4{3}+3{4}
Кубогеміоктаедр		3	6.4/3.6.4	Oh	C51	W078	U15	K20	12	24	10	-2		6{4}+4{6}
Великий додекаедр		2 5	(5.5.5.5.5)/2	Ih	C44	W021	U35	K40	12	30	12	-6	3	12{5}
Великий ікосаедр		2 3	(3.3.3.3.3)/2	Ih	C69	W041	U53	K58	12	30	20	2	7	20{3}
Великий бітригональний ікосододекаедр		3 5	(5.3.5.3.5.3)/2	Ih	C61	W087	U47	K52	20	60	32	-8	6	20{3}+12{5}
Малий ромбогексаедр			4.8.4/3.8	Oh	C60	W086	U18	K23	24	48	18	-6		12{4}+6{8}
Малий кубокубооктаедр		4	8.3/2.8.4	Oh	C38	W069	U13	K18	24	48	20	-4	2	8{3}+6{4}+6{8}
Великий ромбокубооктаедр		2	4.3/2.4.4	Oh	C59	W085	U17	K22	24	48	26	2	5	8{3}+(6+12){4}
Малий додеко- гемідодекаедр		5	10.5/4.10.5	Ih	C65	W091	U51	K56	30	60	18	-12		12{5}+6{10}
Великий додеко- геміікосаедр		3	6.5/4.6.5	Ih	C81	W102	U65	K70	30	60	22	-8		12{5}+10{6}
Малий ікосо- гемідодекаедр		5	10.3/2.10.3	Ih	C63	W089	U49	K54	30	60	26	-4		20{3}+6{10}
Малий додекоікосаедр			10.6.10/9.6/5	Ih	C64	W090	U50	K55	60	120	32	-28		20{6}+12{10}
Малий ромбододекаедр			10.4.10/9.4/3	Ih	C46	W074	U39	K44	60	120	42	-18		30{4}+12{10}
Малий додеко- ікосододекаедр		5	10.3/2.10.5	Ih	C42	W072	U33	K38	60	120	44	-16	2	20{3}+12{5}+12{10}
Ромбоікосаедр			6.4.6/5.4/3	Ih	C72	W096	U56	K61	60	120	50	-10		30{4}+20{6}
Великий ікосо- ікосододекаедр		3	6.3/2.6.5	Ih	C62	W088	U48	K53	60	120	52	-8	6	20{3}+12{5}+20{6}
Пентаграмна призма		2	5/2.4.4	D5h	C33b	--	U78a	K03a	10	15	7	2	2	5{4}+2{5/2}
Гептаграмна призма 7/2		2	7/2.4.4	D7h	C33d	--	U78b	K03b	14	21	9	2	2	7{4}+2{7/2}
Гептаграмна призма 7/3		2	7/3.4.4	D7h	C33d	--	U78c	K03c	14	21	9	2	3	7{4}+2{7/3}
Октаграмна призма		2	8/3.4.4	D8h	C33e	--	U78d	K03d	16	24	10	2	3	8{4}+2{8/3}
Пентаграмна антипризма		2 2 5/2	5/2.3.3.3	D5h	C34b	--	U79a	K04a	10	20	12	2	2	10{3}+2{5/2}
Пентаграмна перехрещена антипризма		2 2 5/3	5/3.3.3.3	D5d	C35a	--	U80a	K05a	10	20	12	2	3	10{3}+2{5/2}
Гептаграмна антипризма 7/2		2 2 7/2	7/2.3.3.3	D7h	C34d	--	U79b	K04b	14	28	16	2	3	14{3}+2{7/2}
Гептаграмна антипризма 7/3		2 2 7/3	7/3.3.3.3	D7d	C34d	--	U79c	K04c	14	28	16	2	3	14{3}+2{7/3}
Гептаграмна перехрещена антипризма		2 2 7/4	7/4.3.3.3	D7h	C35b	--	U80b	K05b	14	28	16	2	4	14{3}+2{7/3}
Октаграмна антипризма		2 2 8/3	8/3.3.3.3	D8d	C34e	--	U79d	K04d	16	32	18	2	3	16{3}+2{8/3}
Октаграмна перехрещена антипризма		2 2 8/5	8/5.3.3.3	D8d	C35c	--	U80c	K05c	16	32	18	2	5	16{3}+2{8/3}
Малий зірчастий додекаедр		2 5/2	(5/2)5	Ih	C43	W020	U34	K39	12	30	12	-6	3	12{5/2}
Великий зірчастий додекаедр		2 5/2	(5/2)3	Ih	C68	W022	U52	K57	20	30	12	2	7	12{5/2}
Бітриагональний додекододекаедр		5/3 5	(5/3.5)3	Ih	C53	W080	U41	K46	20	60	24	-16	4	12{5}+12{5/2}
Малий бітриагональний ікосододекаедр		5/2 3	(5/2.3)3	Ih	C39	W070	U30	K35	20	60	32	-8	2	20{3}+12{5/2}
Зірчастий зрізаний гексаедр		4/3	8/3.8/3.3	Oh	C66	W092	U19	K24	24	36	14	2	7	8{3}+6{8/3}
Великий ромбогексаедр			4.8/3.4/3.8/5	Oh	C82	W103	U21	K26	24	48	18	-6		12{4}+6{8/3}
Великий кубокубооктаедр		4/3	8/3.3.8/3.4	Oh	C50	W077	U14	K19	24	48	20	-4	4	8{3}+6{4}+6{8/3}
Великий додеко- гемідодекаедр		5/3	10/3.5/3.10/3.5/2	Ih	C86	W107	U70	K75	30	60	18	-12		12{5/2}+6{10/3}
Малий додеко- геміікосаедр		3	6.5/3.6.5/2	Ih	C78	W100	U62	K67	30	60	22	-8		12{5/2}+10{6}
Додекододекаедр		5/2 5	(5/2.5)2	Ih	C45	W073	U36	K41	30	60	24	-6	3	12{5}+12{5/2}
Великий ікосо- гемідодекаедр		5/3	10/3.3/2.10/3.3	Ih	C85	W106	U71	K76	30	60	26	-4		20{3}+6{10/3}
Великий ікосо- додекаедр		5/2 3	(5/2.3)2	Ih	C70	W094	U54	K59	30	60	32	2	7	20{3}+12{5/2}
Кубозрізаний кубооктаедр			8/3.6.8	Oh	C52	W079	U16	K21	48	72	20	-4	4	8{6}+6{8}+6{8/3}
Великий зрізаний кубооктаедр			8/3.4.6/5	Oh	C67	W093	U20	K25	48	72	26	2	1	12{4}+8{6}+6{8/3}
Зрізаний великий додекаедр		5	10.10.5/2	Ih	C47	W075	U37	K42	60	90	24	-6	3	12{5/2}+12{10}
Малий зірчастий зрізаний додекаедр		5/3	10/3.10/3.5	Ih	C74	W097	U58	K63	60	90	24	-6	9	12{5}+12{10/3}
Великий зірчастий зрізаний додекаедр		5/3	10/3.10/3.3	Ih	C83	W104	U66	K71	60	90	32	2	13	20{3}+12{10/3}
Зрізаний великий ікосаедр		3	6.6.5/2	Ih	C71	W095	U55	K60	60	90	32	2	7	12{5/2}+20{6}
Великий додекоікосаедр			6.10/3.6/5.10/7	Ih	C79	W101	U63	K68	60	120	32	-28		20{6}+12{10/3}
Великий ромбододекаедр			4.10/3.4/3.10/7	Ih	C89	W109	U73	K78	60	120	42	-18		30{4}+12{10/3}
Ікосо- додекододекаедр		3	6.5/3.6.5	Ih	C56	W083	U44	K49	60	120	44	-16	4	12{5}+12{5/2}+20{6}
Малий бітриагональний додеко- ікосододекаедр		5	10.5/3.10.3	Ih	C55	W082	U43	K48	60	120	44	-16	4	20{3}+12{;5/2}+12{10}
Великий бітриагональний додеко- ікосододекаедр		5/3	10/3.3.10/3.5	Ih	C54	W081	U42	K47	60	120	44	-16	4	20{3}+12{5}+12{10/3}
Великий додеко- ікосододекаедр		5/3	10/3.5/2.10/3.3	Ih	C77	W099	U61	K66	60	120	44	-16	10	20{3}+12{5/2}+12{10/3}
Малий ікосо- ікосододекаедр		3	6.5/2.6.3	Ih	C40	W071	U31	K36	60	120	52	-8	2	20{3}+12{5/2}+20{6}
Ромбододеко- додекаедр		2	4.5/2.4.5	Ih	C48	W076	U38	K43	60	120	54	-6	3	30{4}+12{5}+12{5/2}
Великий ромбоікосо- додекаедр		2	4.5/3.4.3	Ih	C84	W105	U67	K72	60	120	62	2	13	20{3}+30{4}+12{5/2}
Ікосозрізаний додекододекаедр			10/3.6.10	Ih	C57	W084	U45	K50	120	180	44	-16	4	20{6}+12{10}+12{10/3}
Зрізаний додекододекаедр			10/3.4.10/9	Ih	C75	W098	U59	K64	120	180	54	-6	3	30{4}+12{10}+12{10/3}
Великий зрізаний ікосододекаедр			10/3.4.6	Ih	C87	W108	U68	K73	120	180	62	2	13	30{4}+20{6}+12{10/3}
Кирпатий додекододекаедр		2 5/2 5	3.3.5/2.3.5	I	C49	W111	U40	K45	60	150	84	-6	3	60{3}+12{5}+12{5/2}
Вивернутий кирпатий додекододекаедр		5/3 2 5	35/3.3.3.5	I	C76	W114	U60	K65	60	150	84	-6	9	60{3}+12{5}+12{5/2}
Великий кирпатий ікосододекаедр		2 5/2 3	34.5/2	I	C73	W116	U57	K62	60	150	92	2	7	(20+60){3}+12{5/2}
Великий вивернутий кирпатий ікосододекаедр		5/3 2 3	33.5/3	I	C88	W113	U69	K74	60	150	92	2	13	(20+60){3}+12{5/2}
Великий вывернутий оберненокирпатий ікосододекаедр		3/25/3 2	(34.5/2)/2	I	C90	W117	U74	K79	60	150	92	2	37	(20+60){3}+12{5/2}
Великий кирпатий додеко- ікосододекаедр		5/35/2 3	33.5/3.3.5/2	I	C80	W115	U64	K69	60	180	104	-16	10	(20+60){3}+(12+12){5/2}
Кирпатий ікосо- додекододекаедр		5/3 3 5	33.5.5/3	I	C58	W112	U46	K51	60	180	104	-16	4	(20+60){3}+12{5}+12{5/2}
Малий кирпатий ікосо- ікосододекаедр		5/2 3 3	35.5/2	Ih	C41	W110	U32	K37	60	180	112	-8	2	(40+60){3}+12{5/2}
Малий вивернутий оберненокирпатий ікосо- ікосододекаедр		3/23/25/2	(35.5/3)/2	Ih	C91	W118	U72	K77	60	180	112	-8	38	(40+60){3}+12{5/2}
Великий біромбо- ікосододекаедр		nowrap=""	3/25/3 3 5/2	(4.5/3.4.3. 4.5/2.4.3/2)/2	Ih	C92	W119	U75	K80	60	240	124	-56		40{3}+60{4}+24{5/2}

Особливий випадок

Назва за Бауером (Bower)	Малюнок	Символ Вітгоффа	Вершинна конфігурація	Група симетрії	C#	W#	U#	K#	Вершин	Ребер	Граней	$\chi$	Щіль-ність	Граней за типами
Великий бікирпатий біромбо- бідодекаедр		(3/2) 5/3 (3) 5/2	(5/2.4.3.3.3.4.5/3.4.3/2.3/2.3/2.4)/2	Ih	-	-	-	-	60	240 (*)	204	24		120{3}+60{4}+24{5/2}

(*): У Великому бікирпатому біромбобідодекаедрі 120 з 240 ребер належать чотирьом граням. Якщо ці 120 ребер рахувати як дві пари ребер, що збігаються, де кожне ребро належить тільки двом граням, то всього буде 360 ребер і характеристика ейлера стане рівною −88. Зважаючи на цю виродженість, ребер многогранник не всі визнають однорідним.

Позначення в стовпцях

• U# — однорідні номери: U01—U80 (тетраедр перший, призми з номерами 76+)
• K# — номери Kaleido software: K01—K80 (K_n = U_n-5 для n від 6 до 80) (призми 1-5, тетраедр і далі 6+)
• W# — моделі Маґнуса Веннінґера: W001—W119
  • 1—18 — 5 опуклих правильних і 13 опуклих напівправильних
  • 20—22, 41 — 4 неопуклі правильні
  • 19—66 — 48 зірчастих форм/з'єднань (неправильні відсутні в цьому списку)
  • 67—109 — 43 неопуклих гостроносих однорідних многогранників
  • 110—119 — 10 неопуклих кирпатих однорідних многогранників
• $\chi$ — ейлерова характеристика. Однорідні мозаїки на площині відповідають топології тора з ейлеровою характеристикою нуль.
• Щільність — щільність многогранника представляє число обертів многогранника навколо центру. Число відсутнє для неорієнтовних многогранників і для геміполіедрів (многогранників, що мають грані, які проходять через центр многогранника), для яких немає чіткого визначення щільності.
• Зауваження про малюнки вершинних фігур:
  • Світлими відрізками подано «вершинну фігуру» многогранника. Кольорові грані включено до малюнка вершинної фігури, щоб бачити їх зв'язки. Деякі грані, що перетинаються, намальовано візуально хибно, оскільки візуально вони не показують, які частини розташовані попереду.

Див. також

• Двоїстий однорідний многогранник
• Призматичний однорідний многогранник
• Сферичний многогранник

Література

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — «Мир», 1974.
• Magnus Wenninger. Dual Models. — Cambridge University Press, 1983. — ISBN 0-521-54325-8.
• H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вип. 916 (24 квітня). — С. 401—450. — ISSN 0080-4614. — DOI:10.1098/rsta.1954.0003.
• H. S. M. Coxeter, Patrick du Val, H. T. Flather, J. F. Petrie. The Fifty-nine Icosahedra. — University of Toronto studies, 1938. — (mathematical series 6: 1–26.) Third edition (1999) Tarquin ISBN 978-1-899618-32-3.
• J. Skilling. The complete set of uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — 1975. — Т. 278, вип. 1278 (24 квітня). — С. 111–135. — ISSN 0080-4614. — DOI:10.1098/rsta.1975.0022.
• Roman E. Maeder. Uniform Polyhedra // The Mathematica Journal. — 1993. — Т. 3, вип. 4 (24 квітня).

Посилання

• Stella: Polyhedron Navigator. Архів оригіналу за 9 липня 2010. Процитовано 15 листопада 2015. — Software able to generate and print nets for all uniform polyhedra. Used to create most images on this page.
• Robert Webb. Uniform Polyhedra and their Duals. Архів оригіналу за 5 грудня 2015. Процитовано 15 листопада 2015.
• Сопов С. П. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников Архивная копия от 7 ноября 2017 на Wayback Machine // Украинский геометрический сборник, выпуск 8, 1970 год, стр. 139—156.
• Нумерація однорідних: U1—U80, (тетраедр перший)
  • Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Архів оригіналу за 11 вересня 2006.
  • Weisstein, Eric W. Однорідний многогранник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Roman E. Maeder. The Uniform Polyhedra. MathConsult AG. Архів оригіналу за 5 червня 2014. Процитовано 15 листопада 2015.
    • All uniform polyhedra by rotation group. Архів оригіналу за 21 жовтня 2014. Процитовано 15 листопада 2015.
  • Sam Gratrix. Uniform Polyhedra Summary. Gratrix.net. Архів оригіналу за 10 листопада 2017. Процитовано 15 листопада 2015.
  • ^{[недоступне посилання — історія]}
  • James R. Buddenhagen. Uniform Polyhedra. Архів оригіналу за 4 березня 2016. Процитовано 15 листопада 2015.
• Нумерація Kaleido: K1—K80 (п'ятикутна призма перша)
  • Zvi Har’El. Kaleido. Архів оригіналу за 20 травня 2011.
    • Uniform Solution for Uniform Polyhedra (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 15 липня 2009.
  • V. Bulatov. Uniform Polyhedra. Архів оригіналу за 25 липня 2011. Процитовано 15 листопада 2015.
  • Jim McNeill. Uniform Polyhedra. Архів оригіналу за 24 вересня 2015. Процитовано 15 листопада 2015.
  • U. Mikloweit. Facetings of uniform polyhedra. Архів оригіналу за 24 вересня 2015. Процитовано 15 листопада 2015.