Однорідні координати

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Однорідні координати — координати, що володіють властивістю, за якої об'єкт, що визначається цими координатами не змінюється при множенні всіх координат на одне і те ж число відмінне від нуля. Однорідні координати мають таке ж значення для проективної геометрії як декартові координати для Евклідової геометрії. Поняття однорідних координат було введене Августом Мебіусом у 1827 році у його роботі Der barycentrische Calcül,[1][2]

За допомогою однорідних координат, навіть координати нескінченно віддалених точок, можуть бути представлені за допомогою кінцевих координат. Формули записані в однорідних координатах найчастіше простіші та більш симетричні, ніж їх вирази в декартових координатах. Однорідні координати мають широкий спектр застосування, в тому числі в комп'ютерній графіці та в 3D комп'ютерному зорі, де вони дозволяють виконувати афінні перетворення і, загалом, проективні перетворення, можуть бути легко представлені у вигляді матриці.

Однорідні координати не задають однозначно точку простору. Наприклад, (1, 1, 1, 1) і (2, 2, 2, 2) задають одну і ту ж точку (1, 1, 1). При переході до однорідних координат для точки з координатами (x, у, z) пропонується узяти набір (x, у, z, 1). В процесі перетворень четверта координата w може змінюватися.

Зворотний перехід до декартових координат здійснюється за допомогою ділення на w-координату.

Матриці елементарних перетворень евклідового простору в однорідних координатах[ред.ред. код]

Нехай задана точка евклідового простору з координатами . Їй ставиться у відповідність точка з однорідними координатами з якою виконуються потрібні перетворення. Після цього отримані координати переводяться у декартові координати .

Використання матричного запису дозволяє отримати економію в кількості зроблених операцій. Так як добуток матриць асоціативний, то можна спочатку обчислити необхідне перетворення як добуток матриць і тільки потім застосувати його до координат точок.


Паралельне перенесення: =
Обертання навколо осі x: =
Обертання навколо осі y: =
Обертання навколо осі z: =
Масштабування: =
Перспективне перетворення: =
Ортогональна проекція: =

Посилання[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. August Ferdinand Möbius в архіві MacTutor (англ.)
  2. Smith, David Eugene (1906). History of Modern Mathematics. J. Wiley & Sons. с. 53. 

Див. також[ред.ред. код]