Ознака подільності чисел

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ознака подільності натурального числа a на натуральне число b — умова, якій відповідає натуральне число a тоді й тільки тоді, коли воно без остачі ділиться на b. Для з’ясування факту належності числа до складних або простих чисел використовують ознаки подільності.

Ознаки подільності чисел[ред.ред. код]

на 2[ред.ред. код]

Ознака
На 2 ділиться без остачі будь-яке ціле число перший розряд якого парний (0, 2, 4, 6, 8) ('наприклад: 58/2=29, 1004/2=502).

Доведення: Будь-яке ціле число можна представити у вигляді суми першого розряду та решти числа. Нехай |a|=b1+10b2, де b1 - перший розряд a, b2 - число, що складається з решти розрядів a. Якщо поділити a на 2, то вираз b1+10b2 можна розписати, як b1/2+10b2/2, або b1/2+5b2. Таким чином, b1 має націло ділитись на 2. Оскільки воно лежить в межах від 0 до 9, і є натуральним числом, то воно може бути одним з п'яти наступних чисел: 0, 2, 4, 6, 8.

на 3[ред.ред. код]

Число ділиться на 3 тоді, якщо сума його цифр ділиться на 3. наприклад: 333 в сумі має цифру 9. 9:3 = 3, отже число ділиться на 3

на 4[ред.ред. код]

Число ділиться на 4 тоді, якщо число, утворене його двома останніми цифрами ділиться на 4 ('наприклад: 128/4 = 32, 256/4 = 64).

на 5[ред.ред. код]

Ознака
На 5 ділиться будь-яке ціле число, перший розряд якого дорівнює 5 або 0 (наприклад: 65/5=13, 783910/5=156782).

Доведення
Нехай a=b1+10b2, де b1 - перший розряд a, а b2 - число, що складається з решти розрядів числа a. Якщо a поділити на 5, то вираз b1+10b2 можна переписати так: b1/5+10b2/5, або так b1/5+2b2. Таким чином b1 має націло ділитися на 5. Так як b1 натуральне та лежить в межах від 0 до 9, то воно може набирати одне з двох значень: 0 або 5.

на 6[ред.ред. код]

Ознака
Число ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться на 2 та на 3.

на 8[ред.ред. код]

Ознака
Число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, якщо число, утворене його трьома останніми цифрами ділиться на 8. ('наприклад: 128/8 = 16, 1800 / 8 = 225).

Доведення
Діємо аналогічно випадку для подільності на 4. Представимо число N у вигляді A*1000 + B. Оскільки 1000 ділиться на 8, то число N ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли B ділиться на 8. Але саме B і є числом, утвореним трьома останніми цифрами числа N.


на 9[ред.ред. код]

Ознака
Число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, якщо сума його цифр у десятковому запису ділиться на 9 ('наприклад: 333/9 = 37, 111111111 / 9 = 12345679).

Доведення
Будь-яке число А можна представити у вигляді А = a0*10k + a1*10k — 1 + … + ak-1*101 + ak*100, де a0, a1, .., ak — цифри числа А з найбільш значущої до найменш значущої (розряду одиниць). Сума декількох чисел ділиться на число Y тоді і тільки тоді, коли сума залишків цих чисел при діленні на Y також ділиться на Y. Іншими словами:

(x0 + x1 + … + xk) mod Y = ((x0 mod Y) + (x1 mod Y) + … + (xk mod Y)) mod Y.
Аналогічне співвідношення виконується і для множення:
(x0 * x1 * … * xk) mod Y = ((x0 mod Y) * (x1 mod Y) * … * (xk mod Y)) mod Y.
Останнім кроком у нашому доведенні буде помітити, що усі ступені числа 10 (1, 10, 100, 1000, …) дають у залишку 1 при діленні на 9. Отже:

А mod 9 = (a0*10k + a1*10k — 1 + … + ak  -1*101 + ak*100) mod 9 = (((a0*10k) mod 9) + ((a1*10k — 1) mod 9) + … + ((a1*101) mod 9) + ((ak*100) mod 9)) mod 9 = (a0 + a1 + … + ak — 1 + ak) mod 9,

що

необхідно було довести.


на 10[ред.ред. код]

Ознака
Число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, якщо остання його цифра - 0. ('наприклад: 370/10 = 37, 1111111110 / 10 = 111111111).

Доведення Оскільки кожне число N = A * 10 + B, де B - його остання цифра, то N ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли B ділиться на 10. Оскільки B - цифра від 0 до 9, то для того, щоб ділитись на 10, B має бути нулем.

Таблиця подільності[ред.ред. код]

Дільник Умова Подільності Приклади
2 Остання цифра є парною 0 1,294: 4 є парне.
3 Сума цифр повинна ділитися на 3. 405: 4 + 0 + 5 = 9. 9 ділиться на 3.
4 Якщо число, утворене двома останніми цифрами ділиться на 4. 2,092: 92 ділиться на 4.
5 Остання цифра або 5 або 0. 490: остання цифра 0.
6 Якщо число ділиться і на 2, і на 3. 24: число ділиться на 2 і на 3.
7 Число розбивається на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Число ділиться на 7, якщо різниця суми блоків, що стоять на парних місцях, і суми блоків, що стоять на непарних місцях, ділиться на 7. 2,911,272: 911 - (2 + 272) = 637. 637 ділиться на 7.
Якщо сума подвоєного числа без останніх двох цифр і останніх двох цифр ділиться на 7. 364: (3x2) + 64 = 70. 70 ділиться на 7.
Якщо сума числа без останньої цифри і останньої цифри, помноженої на 5, ділиться на 7 364: 36 + (5×4) = 56. 56 ділиться на 7.
Різниця між числом без останньої цифри і подвоєної останньої цифри повинна ділитись на 7. 364: 36 − (2×4) = 28. 28 ділиться на 7.
8 Якщо число, утворене останніми трьома цифрами, ділиться на 8. 5,128: 128 ділиться на 8.
Якщо число сотень є парне, то число, утворене двома останніми цифрами повинне ділитись на 8. 624: 6 - парне, 24 ділиться на 8.
Якщо число сотень є непарним, то до числа, утворенного двома останніми цифрами, потрібно додати 4. Таке число повинне ділитись на 8. 352: 52+4 = 56. 56 ділиться на 8.
9 Сума всіх цифр повинна ділитись на 9. 2,880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18. 18 ділиться на 9.
10 Остання цифра 0. 130: остання цифра 0.
11 Число ділиться на 11 тоді і тільки тоді, коли його знакозмінна сума цифр ділиться на 11.

Число розбивається на блоки по дві цифри, починаючи з кінця. Сума блоків повинна ділитись на 11.

627: 6 + 27 = 33. 33 ділиться на 11.
Якщо різниця між числом без останньої цифри і останньою цифрою ділиться на 11. 627: 62 - 7 = 55. 55 ділиться на 11.
Якщо сума цифр, що стоять на парних місцях відрізняється від суми цифр, що стоять на непарних місцях, починаючи з кінця, на число, що кратне 11. 182,919: (9 + 9 + 8) - (1 + 2 + 1) = 22.
12 Якщо число ділиться на 3 і на 4. 324: воно ділиться і на 3, і на 4.
Число без останньої цифри множать на два і віднімають останню цифру. Таке число повинне ділитись на 12. 324: (32x2) − 4 = 60. 60 ділиться на 12.
13 Число ділиться на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Сумуються блоки, що стоять на парних і непарних місцях. Різниця цих сум повинна ділитись на 13. 2,911,272: 911 - (2 + 272) = 637. 637 ділиться на 13.
До числа без останньої цифри додають останню цифру, помножену на 4. Утворене число повинне ділитись на 13. 338: 33 + (8×4) = 65. 65 ділиться на 13.
Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 9. Утворене число повинне ділитись на 13. 637: 63 − (7×9) = 0. 0 ділиться на 13.
14 Якщо число ділиться на 2 і на 7. 224: воно ділиться на і на 2, і на 7.
Число без останніх двох цифр множать на 2. До результату додають число, утворене двома останніми двома цифрами. Сума повинна ділитись на 14. 364: (3x2) + 64 = 70.
15 Якщо число ділиться на 3 і на 5. 390: число ділиться на 3 і на 5.
16 Якщо число тисяч є парним, то перевіряють число, складене з останніх трьох цифр. 254,176: 176 ділиться на 16.
Якщо число тисяч є непарним, то до числа, утвореного останніми трьома цифрами, додають 8. 3,408: 408+8 = 416. 416 ділиться на 16.
Число без останніх двох цифр множать на 4 і додають число, утворене останніми двома цифрами. Результат повинен ділитись на 16. 176: (1x4) + 76 = 80. 80 ділиться на 16.
17 Число без останніх двох цифр множать на 2 і додають число, утворене останніми двома цифрами. Результат повинен ділитись на 17. 187: − (1x2) + 87 = 85. 85 ділиться на 17.
Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 5. Результат повинен ділитись на 17. 85: − 8 + (5×5) = 17.
18 Якщо число ділиться на 2 і на 9. 342: воно ділиться і на 2, і на 9.
19 До числа без останньої цифри додають подвоєну останню цифру. Результат повинен ділитись на 19. 437: 43 + (7x2) = 57. 57 ділиться на 19.
20 Якщо число ділиться на 10 і число десятків є парне. 360: число ділиться на 10 і 6 є парним.
Якщо число, утворенне двома останніми цифрами ділиться на 20. 480: 80 ділиться на 20.
22 Якщо число закінчується на парну цифру й ділиться на 11. 6886: ділиться на 11 і закінчується парним.
25 Якщо число, складене з двох останніх цифр, ділиться на 25. 134,250: 50 ділиться на 25.
26 Якщо число ділиться на 13 і є парним. 2,911,272: число ділиться на 13 і є парним.
27 Число ділять на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Сума утворених блоків повинна ділитись на 27. 2,644,272: 2 + 644 + 272 = 918. 918 ділиться на 27.
Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 8. 621: 62 − (1×8) = 54. 54 ділиться на 27.
32 Якщо число десятків тисяч є парним, то перевіряють на подільність число, утворене останніми чотирма цифрами. 41,312: 1312 ділиться на 32.
Якщо число десятків тисяч є непарним, то до числа, утвореного останніми чотирма цифрами, додають 16. 254,176: 4176+16 = 4192. 4192 ділиться на 32.
Число без останніх двох цифр множать на 4 і до результату додають останні дві цифри. Суму перевіряють на подільність на 32. 1,312: (13x4) + 12 = 64. 64 ділиться на 32.
33 Якщо число ділиться на 11 і на 3. 1,003,002: число ділиться на 11 і на 3.
Число ділять на блоки по дві цифри, починаючи з кінця. Утворені блоками числа сумують. Результат повинен ділитись на 33. 627: 6 + 27 = 33.
37 Число ділять на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Число, утворені блоками сумують. Сума повинна ділитись на 37. 2,651,272: 2 + 651 + 272 = 925. 925 ділиться на 37.
Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 11. Результат повинен ділитися на 37. 925: 92 − (5x11) = 37.
49 До числа без останньої цифри додають останню цифру, помножену на 5. Таке число повинне ділитись на 49. 1,127: 112 + (7×5) = 147. 147 ділиться на 49.

Див. також[ред.ред. код]