Окільцьований простір

Окільцьований простір — топологічний простір, кожній відкритій множині якого співставлено комутативне кільце «функцій» на цій множині. Окільцьовані простори, зокрема, використовуються при визначенні схем.

Визначення

Окільцьований простір $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ — це топологічний простір $X$ разом з пучком комутативних кілець ${\mathcal {O}}_{X}$ на ньому. Цей пучок називається структурним пучком простору $X$.

Локально окільцьований простір — це окільцьований простір, такий що шар пучка ${\mathcal {O}}_{X}$ в будь-якій точці — є локальним кільцем.

Приклади

Будь-який топологічний простір можна наділити структурою локально окільцьованого простору, якщо розглянути пучок неперервних функцій на ньому. Шар цього пучка в точці x — кільце ростків неперервних функцій в x є локальним кільцем, єдиний максимальний ідеал якого — паростки функцій, рівних нулю в x. Аналогічним чином, гладкий многовид з пучком гладких функцій є локально окільцьованим простором.

Якщо X — алгебраїчний многовид з топологією Зариського (наприклад, спектр деякого кільця), структуру локально окільцьованого простору на ньому вводять в такий спосіб: ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ — множина раціональних функцій, визначених на всьому U. Такий окільцьований простір називають афінною схемою, загальні схеми визначають як результат «склеювання» кількох афінних схем.

Морфізми окільцьованих просторів

Для того, щоб задати морфізм з $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ в $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$, потрібно зафіксувати наступну інформацію:

• Неперервне відображення $f:X\to Y$.
• Для кожної відкритої підмножини $U\in Y$ — гомоморфізм кілець $\varphi _{U}:{\mathcal {O}}_{Y}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(U))$.

Гомоморфізми кілець повинні бути узгоджені зі структурою пучка, тобто комутувати з відображеннями обмеження. А саме, якщо $V_{1}\subset V_{2}$ — відкриті підмножини $Y$, наступна діаграма повинна бути комутативною:

Морфізми локально окільцьованих просторів повинні задовольняти ще одній вимозі. Гомоморфізми $\varphi$ для кожної точки $x\in X$ індукують гомоморфізм з шару ${\mathcal {O}}_{Y}$ в точці $f(x)$ в шар ${\mathcal {O}}_{X}$ в точці $x$. Потрібно, щоб всі ці гомоморфізми були локальними, тобто переводили максимальний ідеал прообразу в підмножину максимального ідеалу образу.

Дотичний простір

Структура локально окільцьованих просторів дозволяє ввести осмислене визначення дотичного простору в його точці. Розглянемо точку $x\in X$ окільцьованого простору $(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Розглянемо локальне кільце $R_{x}$ (шар пучка в точці x) з максимальним ідеалом ${\mathfrak {m}}_{x}$. Тоді $R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}$ — поле, ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ — векторний простір над цим полем. Дотичний простір в точці $x$ визначається як двоїстий простір до цього простору.

Ідея полягає в наступному: дотичний простір складається з векторів, уздовж яких можна «диференціювати» «функції» в даній точці, тобто елементи кільця $R_{x}$. Досить знайти спосіб диференціювання функцій, значення яких в даній точці дорівнює нулю, так як інші відрізняються від них на константу, то є достатньо описати похідні функцій з ${\mathfrak {m}}_{x}$. При цьому диференціал добутку двох функцій з ${\mathfrak {m}}_{x}$ дорівнює нулю (ми хочемо, щоб формула похідної добутку залишилася вірною). Отже, вектор повинен привласнювати число кожного елементу ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$, і це те, що роблять елементи двоїстого простору.

Легко перевірити, що в разі гладких многовидів з пучком гладких функцій це визначення збігається зі звичайним. З іншого боку, в разі топологічного простору з пучком неперервних (дійснозначних) функцій ${\mathfrak {m}}_{x}={\mathfrak {m}}_{x}^{2}$, так як для неперервної функції $f(x)$ функція ${\sqrt {|f(x)|}}$ також є неперервною. Отже, в цьому випадку дотичний простір в будь-якій точці має розмірність 0.

Посилання

• Onishchik, A.L. (2001), Ringed space, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Джерела

• Tennison, B. R. (1975), Sheaf theory, Cambridge University Press, MR 0404390