Перейти до вмісту

Оператор Гільберта — Шмідта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Оператор Гільберта — Шмідта — це обмежений оператор на гільбертовому просторі зі скінченною нормою Гільберта — Шмідта, тобто для якого існує такий ортонормований базис в , що

[1][2]

Якщо це виконується в якомусь ортономованому базисі, то це виконується в будь-якому ортонормованому базисі.

Скалярний добуток Гільберта — Шмідта

[ред. | ред. код]

Нехай і  — два оператори Гільберта — Шмідта. Скалярний добуток Гільберта — Шмідта визначається як

де позначає слід оператора. Індукована таким скалярним добутком норма називається нормою Гільберта — Шмідта:

Це визначення не залежить від вибору ортонормованого базису і аналогічне нормі Фробеніуса для операторів у скінченновимірному векторному просторі.

Властивості

[ред. | ред. код]

Оператори Гільберта — Шмідта утворюють двосторонній *-ідеал у банаховій алгебрі обмежених операторів на . Оператори Гільберта — Шмідта утворюють замкнуту в топології, індукованій нормою на , множину тоді і тільки тоді, коли скінченновимірний. Вони також утворюють гільбертів простір. Можна показати, що він природно ізоморфний тензорному добутку гільбертових просторів

де  — простір, спряжений до .[3]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Moslehian, M. S. Hilbert–Schmidt Operator (From MathWorld).
  2. Voitsekhovskii, M. I. (2001), operator Hilbert-Schmidt operator, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  3. Conway, John (1990). A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.