Оператор Гільберта — Шмідта

Оператор Гільберта — Шмідта — це обмежений оператор $A$ на гільбертовому просторі $H$ зі скінченною нормою Гільберта — Шмідта, тобто для якого існує такий ортонормований базис $\{e_{i}\colon i\in I\}$ в $H$, що

$\sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}<\infty .$

Якщо це виконується в якомусь ортономованому базисі, то це виконується в будь-якому ортонормованому базисі.

Скалярний добуток Гільберта — Шмідта

Нехай $A$ і $B$ — два оператори Гільберта — Шмідта. Скалярний добуток Гільберта — Шмідта визначається як

$\langle A,B\rangle _{\mathrm {HS} }=\operatorname {tr} \,A^{T}\!B=\sum _{i\in I}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle .$

де $\operatorname {tr}$ позначає слід оператора. Індукована таким скалярним добутком норма називається нормою Гільберта — Шмідта:

$\lVert A\rVert _{\mathrm {HS} }^{2}=\sum _{i\in I}\lVert Ae_{i}\rVert ^{2}.$

Це визначення не залежить від вибору ортонормованого базису і аналогічне нормі Фробеніуса для операторів у скінченновимірному векторному просторі.

Властивості

Оператори Гільберта — Шмідта утворюють двосторонній *-ідеал у банаховій алгебрі обмежених операторів на $H$. Оператори Гільберта — Шмідта утворюють замкнуту в топології, індукованій нормою на $H$, множину тоді і тільки тоді, коли $H$ скінченновимірний. Вони також утворюють гільбертів простір. Можна показати, що він природно ізоморфний тензорному добутку гільбертових просторів

$H^{*}\otimes H,$

де $H^{*}$ — простір, спряжений до $H$.