Оператор Фредгольма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Оператор Фредгольма або оператор Нетералінійний оператор між векторними просторами для якого ядро і коядро мають скінченні розмірності. Лінійний оператор між скінченновимірними просторами очевидно завжди є фредгольмовим. Тому інтерес становить випадок нескінченновимірних просторів. Найчастіше фредгольмові оператори розглядають для банахових просторів і гільбертових просторів і додатково вводиться умова обмеженості оператора.

Означення[ред. | ред. код]

Лінійний оператор між двома векторними просторами і називають оператором Фредгольма, якщо

  • Ядро тобто множина має скінченну розмірність
  • Образ , тобто множина має скінченну корозмірність у . Іншими словами коядро є скінченновимірним.

Найчастіше оператори розглядають для гільбертових чи банахових просторів і тоді, як правило, додатково вводиться умова обмеженості оператора.

Множина операторів Фредгольма між просторами і позначатиметься .

Число

називається індексом Фредгольма оператора . Для скінченновимірних просторів усі лінійні оператори є фредгольмовими і для всіх операторів між скінченновимірними просторами і :

Приклади[ред. | ред. код]

Оператори зсуву[ред. | ред. код]

Нехай є гільбертовим простором із ортонормальним базисом проіндексованим натуральними числами. Правий оператор зсуву на k позицій за означенням є:

Він є ін'єктивним і має корозмірність . Відповідно його індекс є рівним . Для лівого зсуву

ядро має розмірність k і оператор є сюр'єктивним, тобто індекс у цьому випадку є рівним .

Інтегральний оператор[ред. | ред. код]

Класичним інтегральним оператором Фредгольма називають оператор

,

де є тотожним оператором, а є цілком неперервним.

Наприклад на просторі неперервних функцій , або, більш загально, просторі функцій що є інтегровними із квадратом оператор задається як

,

де ядро інтегрування є неперервним або квадратно інтегровним. Цей оператор є оператором Фредгольма з індексом 0. У теорії інтегральних рівнянь Фредгольма вивчаються рівняння . Ключовим результатом теорії є альтернатива Фредгольма.

Тензорний добуток оператора Фредгольма і ізоморфізму[ред. | ред. код]

Якщо є оператором Фредгольма над довільним комплексним векторним простором, а є лінійним ізоморфізмом, то і також

Тому теж є оператором Фредгольма і

Властивості[ред. | ред. код]

Всюди розглядається обмежений оператор Фредгольма між банаховими просторами.

  • Образ (обмеженого) оператора Фредгольма між банаховими просторами є замкнутим підпростором.
  • Якщо є оператором Фредгольма, то для скінченновимірного підпростору існує замкнутий підпростір у для якого . Обмеження оператора на цей підпростір є бієктивним оператором для якого обернений оператор теж є обмеженим. Таким чином для існує неперервний обернений оператор за винятком підпросторів скінченної розмірності.
  • Спряжений до оператора Фредгольма оператор теж є фредгольмовим: і для індексів цих операторів:
  • Композиція фредгольмових операторів є оператором Фредгольма з індексом
  • Для (обмеженого) оператора Фредгольма: і цілком неперервного оператора оператор теж є фредгольмовим і
  • Якщо на комутативній діаграмі із довільними векторними просторами і лінійними відображеннями між ними:
обидва рядки є точними послідовностями і і є операторами Фредгольма, то і є оператором Фредгольма і
  • Із попереднього, якщо (тобто є цілком неперервним), а то є оператором Фредгольма індекс якого є рівним 0 (оскільки оборотний оператор є очевидно фредгольмовим із індексом 0). Навпаки, будь-який фредгольмів оператор індексу 0 є сумою оборотного і цілком неперервного операторів.
  • Властивість Фредгольма і індекс також зберігаються при досить малих обмежених збуреннях, тобто . Інакше кажучи, множина є відкритою у множині обмежених операторів. Індекс Фредгольма є константою на кожній компоненті зв'язності множини .
  • Згідно теореми Аткінсона оператор є фредгольмовим, якщо і тільки якщо існують оператори і цілком неперервні оператори такі, що і .
  • Якщо є оператором Фредгольма, то існує , що для всіх для яких виконуються нерівності:
  1. und
Зокрема є оператором Фредгольма із індексом .

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
  • Murphy, Gerald J. (1990), C*–Algebras and Operator Theory, Academic Press, ISBN 978-0-08-092496-0