Оператор сліду

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

 — область в евклідовому просторі

Якщо функція , то очевидно приймає значення на межі , яке будемо позначати . Виникає питання: чи можна визначити коректно значення на межі для довільної функції (така функція не є неперервною та визначається з точністю до міри нуль, а міра Лебега множини дорівнює нулю).

Теорема.[ред. | ред. код]

Нехай  - обмежена область і  є . Тоді існує такий лінійний оператор 

, що:

    1), якщо ;
    2).

Означення.[ред. | ред. код]

Оператор  визначенній у теоремі, називається оператором сліду, а  — слідом функції на межі .

Доведення.[ред. | ред. код]

1. Припустимо спочатку, що і межа області є плоскою в деякому околі точки , тобто існує таке число , що .

Позначимо

Виберемо функцію таку, що на і на . Позначимо i . Застосовуючи нерівність Юнга, виводимо

        (*)

2. Якщо межа не є плоскою в околі точки , то розпрямляючи межу за допомогою вектор-відображення i застосувавши (*) виводимо нерівність

     

де .

3.Оскільки  — компакт, то існує скінченне число точок і відкритих множин , які містять і

та . Підсумовуючи останні нерівності за отримаємо нерівність

     

Для довільної функції визначемо оператор . Очевидно, що він є лінійним і

       (**)

4. Тепер розглянемо довільну функцію . Існує послідовність така, що

в при

Для кожної функції визначена функція і має місце нерівнічть (**). Тоді

     .

Отже,  — фундаментальна послідовність у . Границею цієї послідовності позначимо через , тобто . Очевидно, що дана границя не залежить від вибору апроксимуючої послідовності. Перейшовши до границі в нерівності

при , отримаємо

    .   


Література[ред. | ред. код]

Т. А. Мельник «Простори Соболєва та узагальнені розв'язки задач математичної фізики»

Примітки[ред. | ред. код]