Ортогональна матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ортогональна матриця — невироджена квадратна матриця \ A (зазвичай з дійсними елементами) така, що

\ A A^T = A^T A = I,

де

\ A^T — транспонована матриця до матриці \ A,
\ I — одинична матриця,

Еквівалентне твердження:, її обернена матриця дорівнює транспонованій матриці:

\! A^{-1} = A^{T}.

Ортогональна матриця є частковим випадком унітарної матриці.

Властивості[ред.ред. код]

  • Визначник ортогональної матриці дорівнює \ \pm 1.
  • Скалярний добуток рядка матриці (чи стовпця) на інший рядок (чи стовпець) дорівнює нулю, а скалярний добуток на самого себе рівний одиниці (стовпці і рядки ортогональної матриці утворюють ортонормовані системи).
тобто, для ортогональної матриці \ A=(a_{ij}) справедливі формули:
\ \sum_{i} a_{ij}a_{ik} = \delta_{jk}, \qquad  \sum_{i} a_{ji}a_{ki} = \delta_{jk},
де \ \delta_{jk} — символ Кронекера.
\ (\pm 1), \qquad \begin{pmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi \\ -\sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}.

Розклад матриці[ред.ред. код]

  • Ортогональна матриця з визначником (+1) є матрицею повороту.
  • Ортогональну матрицю з визначником (-1) можна представити у вигляді добутку матриці повороту і матриці Хаусхолдера (матриці симетрії відносно площини).

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]