Ортогональна матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Ортогональна матриця — невироджена квадратна матриця (зазвичай із дійсними елементами) така, що

,

де

 — транспонована матриця до матриці ,
 — одинична матриця,

Еквівалентне твердження:, її обернена матриця дорівнює транспонованій матриці:

Ортогональна матриця є частковим випадком унітарної матриці.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Визначник ортогональної матриці дорівнює .
  • Скалярний добуток рядка матриці (чи стовпця) на інший рядок (чи стовпець) дорівнює нулю, а скалярний добуток на самого себе рівний одиниці (стовпці й рядки ортогональної матриці утворюють ортонормовані системи).
тобто, для ортогональної матриці справедливі формули:
де  — символ Кронекера.
  • Ортогональні матриці порядку над полем утворюють групу за множенням. Це ортогональна група, що позначається (якщо опущено — вважається ).

Розклад матриці[ред. | ред. код]

  • Ортогональна матриця з визначником +1 є матрицею повороту.
  • Ортогональну матрицю з визначником -1 можна подати у вигляді добутку жвох матриць: матриці повороту на матрицю симетрії відносно (гіпер)площини (перетворення Хаусхолдера).

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]